Словарь логики - антиномия рассела
Антиномия рассела
Напр., множество всех людей не является человеком, так же как множество стульев — это не стул. Но множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит самое себя в качестве элемента. Назовем множества, не содержащие себя в качестве элемента, обычными,а содержащие себя — необычными и рассмотрим множество, составленное из всех обычных множеств.
Поскольку это множество, о нем можно спрашивать, обычное оно или нет. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, не должно содержать самое себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что рассматриваемое множество представляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к противоречию.
Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит самое себя в качестве элемента, а элементами рассматриваемого множества являются только обычные множества. В итоге множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом.
Полученное противоречие говорит о том, что такого множества не существует. Но если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем различие между возможными и невозможными множествами? Наивное, или интуитивное, представление о множестве как сколь угодно обширном соединении в чем-то однородных объектов способно вести, таким образом, к противоречию и нуждается в прояснении и уточнении.А. Р. не имеет специфически математического характера, ее можно переформулировать в чисто логических терминах. Б.Рассел предложил следующий популярный вариант открытой им антиномии. Представим, что совет какой-то деревни так определил обязанности парикмахера: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин.
Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Таким образом, этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно.
Для избежания этой и других антиномий Б. Рассел построил теорию логических типов (см.: Антиномия). Другим способом устранения А. Р. является отказ от использования «слишком больших множеств». Ни первый, ни второй из этих способов не являются общепризнанными. .Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 372 | |
2 | 369 | |
3 | 362 | |
4 | 337 | |
5 | 336 | |
6 | 331 | |
7 | 327 | |
8 | 325 | |
9 | 323 | |
10 | 323 | |
11 | 318 | |
12 | 316 | |
13 | 312 | |
14 | 311 | |
15 | 310 | |
16 | 308 | |
17 | 307 | |
18 | 307 | |
19 | 303 | |
20 | 297 |