Математическая энциклопедия - абелева функция

обобщение эллиптической функции одного комплексного переменного на случай многих комплексных переменных. Мероморфная в комплексном пространстве функция f(z) от pкомплексных переменных наз. А. ф., если существуют 2р векторов-строк из С ^p

линейно независимых над полем действительных чисел и таких, что для всех 2р. Векторы наз. периодами, или системами периодов, А. ф. Все периоды А. ф. f(z) образуют абелеву группу Г по сложению, наз. группой периодов (или модулем периодов). Базис этой группы наз. базисом периодов А. ф., а также системой основных (или примитивных) периодов. А. ф. наз. вырожденной, если существует такое линейное преобразование переменных к-рое переводит в функцию меньшего числа переменных; в противном случае наз. невырожденной А. ф. Вырожденные А. ф. характеризуются также тем, что они имеют бесконечно малые периоды, т. е. для любого числа можно найти период для к-рого

Если то невырожденные А. ф. суть эллиптич. функции одного комплексного переменного. Каждая А. ф. с группой периодов Г естественным образом отождествляется с мероморфной функцией на комплексном торе т. е. на факторпространстве (см. также Квазиабелева функция).

Исследование А. ф. началось в 19 в. в связи с проблемой обращения абелевых интеграловI рода (см. Якоби проблема обращения,[1], [2]). Возникающие при решении этой проблемы А. ф. наз. специальными А. ф., а иногда в старых работах под А. ф. только они и подразумевались. Пусть линейно независимые нормальные абелевы интегралы I рода, построенные на римановой поверхности F:

заданная система сумм, в к-рой нижние пределы интегрирования считаются фиксированными на поверхности F. Тогда специальные А. ф. можно определить как все рациональные функции координат рверхних пределов рассматриваемых в свою очередь как функции от рточек поверхности F. В символической записи, ведущей свое начало от К. Вейерштрасса (К. Weierstrass), любую специальную А. ф. Аl(z) можно изобразить в виде

Соответствующие специальным А. ф. комплексные торы являются Якоби многообразиями алгебраич. кривых.

Матрица W, столбцы к-рой образуют базис периодов А. ф. f(z), имеет размер и наз. матрицей периодов А. ф. Для того чтобы данная матрица Wразмера ~ была матрицей периодов нек-рой невырожденной А. ф. необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла определенным условиям (условия РиманаФробениуса). Она должна являться римановой матрицей, т. е. для Wдолжна существовать такая антисимметрическая неособенная целочисленная квадратная матрица Мпорядка 2р, что: 1) транспонированная матрица W;2) матрица iWMW*^T определяет положительно определенную эрмитову форму (см. [3]). Если выразить условия 1) и 2) в виде соответственно уравнений и неравенств, то получится система р( р -1)/2 римановых уравнений и р( р-1)/2 римановых неравенств. Число рназ. родом матрицы Wи соответствующей А. ф. f(z). Столбцы матрицы W, рассматриваемые как векторы в действительном евклидовом пространстве R^2p, определяют параллелотоп периодов А. ф.

Все А. ф., соответствующие одной и той же матрице периодов W, образуют абелево функциональное поле KW. В случае, когда поле К W содержит невырожденную А. ф., степень его трансцендентности над полем равна р;тор при этом является абелевым многообразием, а К W совпадает с его полем рациональных функций. Если же все А. ф. из вырожденные, то изоморфно полю рациональных функций на абелевом многообразии, размерность к-рого меньше р. См. также Квазиабелева функция.

Подобно эллиптич. функциям, каждая А. ф. может быть представлена в виде отношения двух целых трансцендентных тета-функций, представимых в свою очередь в виде тета-рядов. Задание римановой матрицы Wопределяет класс тета-рядов, позволяющий построить все А. ф. поля К W.