Философская энциклопедия - бесконечное и конечное

БЕСКОНЕЧНОЕ И КОНЕЧНОЕ

— филос. категории, отображающие противоположные, но взаимосвязанные стороны существования и развития материального мира в пространстве и времени. В отличие от конечного (К.), присущего отдельным вещам, состояниям, процессам и формам движения, которые имеют преходящий, относительный характер, мир в целом, природа существует вечно во времени и бесконечно в пространстве. Однако эта вечность и бесконечность проявляются через существование и развитие отдельных вещей и явлений, в чем и находит свое выражение взаимосвязь между Б. и К. Многообразие природы выступает в виде потенциальной бесконечности разнообразных материальных систем различного уровня структур и организации.

Качественные аспекты бесконечного (Б.) изучаются естествознанием, в частности астрономией и космологией. С помощью методов этих наук открываются новые свойства и закономерности бесконечного многообразия мира, расширяются наши знания о пространственно-временных свойствах охваченной наблюдениями части Вселенной, а космология по-новому ставит вопрос о решении проблемы Б. и К. Эта проблема исследуется в космологии с помощью моделей, опирающихся, с одной стороны, на данные внегалактической астрономии, в частности открытие Э. Хабблом «красного смещения» света от далеких галактик, которое интерпретируется как расширение Вселенной, а с другой — на упрощающие предположения о ее изотропности, однородности распределения вещества и т.д. Такие модели не дают однозначного ответа на вопрос о бесконечности и конечности Вселенной.

Особенно важное значение проблема Б. имеет в математике, где она неявно используется уже при введении ее исходных понятий, а тем более при обосновании ее фундаментальных теорий и концепций (математический анализ, теория множеств, интуиционистская и конструктивная программы обоснования и др.). Несмотря на опосредованный характер связи математики с реальным миром, Б. заимствуется ею из действительности и вводится с помощью абстракций. Простейшей из них является абстракция практической бесконечности, в которой она отождествляется с очень большой или очень малой величиной. В такой форме понятие Б. применяется в естествознании и прикладной математике, однако его введение в чистую математику создало бы огромные трудности, т.к. нельзя было бы неограниченно продолжить даже ряд натуральных чисел. Поэтому в теоретической математике вводят более сильные абстракции потенциальной и актуально й бесконечности.

Потенциальная бесконечность абстрагируется от фактической неосуществимости неограниченного построения математических объектов, напр. натуральных чисел, и постулирует, что их ряд можно продолжать бесконечно. Неявно это понятие Б. употреблялось уже в антич. математике, но особое значение оно приобрело в период кризиса анализа бесконечно малых и в явном виде вошло в теорию пределов, где бесконечно малая стала рассматриваться как величина потенциальная, стремящаяся к нулю как своему пределу. Однако в последней четверти 19 в. было установлено, что теория пределов и последующая арифметизация анализа опираются на понятие актуальной бесконечности, которая была положена Г. Кантором в основание созданной им теории множеств. Поэтому место становящейся, потенциальной бесконечности в математике занимает бесконечность завершенная, актуальная. Однако такое уподобление бесконечного множества конечному впоследствии привело к парадоксам и вызвало новый кризис оснований математики. Выход из нее интуиционисты и конструктивисты видят в возвращении к идее потенциальной бесконечности, но большинство математиков пытаются сохранить канторовскую теорию множеств, исключая образование слишком обширных множеств путем специальных постулатов аксиоматической системы. Трудности, возникающие при рассмотрении математической бесконечности, по-видимому, связаны с противопоставлением Б. и К., которые выражают в идеализированной форме разные, но взаимосвязанные аспекты реальной бесконечности. Потенциальная бесконечность в абстрактном виде отображает становление и возникновение, актуальная бесконечность — его результат, бытие.

Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина. 2004.