Философская энциклопедия - пустое

ПУСТО́Е

(в математике и логике) – то же, что "не содержащее элементов (членов)". Так, П. множество (или класс) – это "множество" (соответственно "класс"), не имеющее (-ий) элементов; П. слово (в формализованных языках математики и математич. логики) – "слово", "состоящее" из нуля букв, и т.п. Эпитет "П." прилагается, т.о., к "несобственным" (т.е. в несобств. смысле слова) объектам, вводимым в рассмотрение в соответств. теориях примерно в силу тех же причин (и играющих в них ту же роль), что число 0 в арифметике положит. чисел (англ. термин "null" в качестве прилагательного просто является синонимом для "empty"). Напр., (1) сумма (объединение) любого множества и П. множества равна данному множеству; (2) пересечение (теоретико-множеств. аналог произведения) любого множества и П.

множества есть П. множество; (3) подобно тому как 0 не превосходит никакого натурального числа, П. множество есть подмножество ("несобственное") любого множества (в т.ч. и самого себя). К рассмотрению П. объектов приводят прежде всего соображения технич. удобства – они делают ненужными многочисленные и громоздкие оговорки (типа "если таковые существуют" и т.

Э к с т е н с и о н а л ь н о е (объемное) понимание "пустоты" можно охарактеризовать и и н т е н с и о н а л ь н о (с т. зр. содержания), напр., как противоречивость нек-рого понятия; так, П. множеством можно, по определению, называть множество всех таких х, что х ≠ х. Но никакая такая интенсиональная характеристика не исчерпывает полностью экстенсиональной, поскольку фактически истинное предложение о пустоте нек-рого класса не обязательно является и логически истинным (пример: класс жителей Луны; см. Логическая истинность, Фактическая истинность).

Онтологич. допущение (иногда неявное) о непустоте тех или иных классов (или предметных областей) играет важную роль в логике. Напр., такое "очевидное" предложение, как VхА(х) .