Энциклопедия Кольера - алгебра

(см. также Алгебра Абстрактная; Множеств Теория). Для представления чисел можно использовать любые символы, но обычно для этого берут буквы латинского алфавита. Если x и y два числа, то их сумма обозначается x + y, а разность x y, т.е. как в арифметике. Так как знак умножения * легко спутать с буквой x, в алгебре знак * используется редко; обычно произведение чисел x и y обозначается xЧy или просто xy. (Знакомые всем позиционные обозначения, используемые при записи целых чисел и означающие, например, что 23 это не два умножить на три, а два десятка плюс три единицы, в алгебре не применяются.) Аналогично, если одно из встречающихся в задаче чисел указано явно или заранее известно, например число 2, то сумма двойки и любого не указанного заранее числа x алгебраически записывается в виде 2 + x или x + 2, а произведение как 2x. Множитель 2 в произведении 2x обычно называют коэффициентом. Частные, как правило, записывают в виде дробей; допустима запись x е y, но или (из соображений удобства набора) x/y встречается гораздо чаще. Символ = означает "равно", символ № "не равно". Например, пусть x число (если оно существует), такое, что если его удвоить, то оно совпадет с самим собой, увеличенным на три. Чтобы найти x ("неизвестное"), мы можем рассуждать на словах, как это и делали первые алгебраисты до изобретения символических систем, но гораздо эффективнее воспользоваться алгебраическими обозначениями. По условиям задачи, требуется, чтобы 2x = x + 3.

Такое представление равенства двух чисел называется уравнением. Пользуясь известными из арифметики правилами операций над числами, уравнение можно упростить. Если число x удовлетворяет уравнению, то числа 2x и x + 3 равны. Вычитая по x из каждого числа, мы снова получим равные числа, следовательно, можно записать x = 3, и задача решена (см. также Арифметика; Число). Заметим, что вычитание x из обеих частей уравнения приводит к такому же результату, как если бы мы взяли x из правой части уравнения и перенесли его в левую часть с другим знаком, т.е. как -x, в результате чего мы получим уравнение 2x x = 3,

откуда x = 3. Аналогично, если два числа равны, будут равны также их удвоенные величины и их половины, а в более общем случае будут равны результаты их умножения на одно и то же число. Отсюда следует правило, согласно которому обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число (кроме нуля). Например, из уравнения 3x = 6 мы заключаем, что x = 2. С другой стороны, если x = 1 и, следовательно, x 1 = 0, мы не можем делить на x 1 обе части уравнения x 1 = 0; если же мы все-таки разделим, то скорее всего получим неверный результат, который можно записать в виде "равенства" 1 = 0.

Символы группировки. Огромные возможности алгебраических символов в полной мере раскрываются лишь когда необходимо записать уравнения более сложные, чем те, которые встречались нам до сих пор. В тех случаях, когда требуется изменить порядок выполнения операций, используются символы группировки членов, главным образом круглые скобки (), квадратные скобки [[]] и фигурные скобки {}. В некоторых случаях порядок выполнения операций несуществен, например, как в выражении 2 + 3 + 4; не важно, прибавим ли мы сначала 2 к 3, а затем прибавим результат, равный 5, к 4, или сначала прибавим 3 к 4, а затем полученную сумму, равную 7, прибавим к 2. Объясняется это тем, что сложение действительных чисел подчиняется закону ассоциативности. С другой стороны, смысл выражения 12 е 2 е 3 совершенно неясен: оно могло бы означать, что 12 следует разделить на 2 (и получить частное, равное 6), а затем полученный результат разделить на 3 и получить 2; или же что 2 следует разделить на 3 и получить частное, равное 2/3, а затем 12 разделить на 2/3 и получить 18. Чтобы исключить столь различные толкования, мы можем записать исходное выражение в виде (12 е 2) е 3 в первом случае и как 12 е (2 е 3) во втором. Согласно принятому соглашению, операции, указанные в круглых скобках, выполняются первыми. В некоторых случаях смысл выражения определяет принятое соглашение о порядке выполнения операций, без которого выражение допускало бы различные толкования. Например, принято считать, что 2Ч3 + 4 означает 6 + 4, т.е. 10, а не 2*7, т.е. 14. Таким образом, если нет операций, заключенных в скобки, то сначала выполняются последовательно умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Если же мы хотим, чтобы сначала была выполнена операция сложения, то необходимо записать 2*(3 + 4) или просто 2(3 + 4). Используя закон дистрибутивности, это выражение можно упростить: 2(3 + 4) = (2*3) + (2*4). Если встречаются несколько скобок, круглых, прямоугольных и фигурных, то выполнять действия нужно, начиная с внутренних скобок; например, 2{3 + 4[[6 (2 + 3)]]}

раскрывается последовательно следующим образом: 2{3 + 4[[6 5]]} = 2{3 + 4} = 2*7 = 14. К числам, представленным символами, следует применять те же правила, которые определяются свойствами чисел. Например, x + 2(3 x) = x + 2*3 2x = 6 x;

здесь мы воспользовались законом дистрибутивности, а затем законами ассоциативности и коммутативности сложения. Аналогично,