Словарь русских фамилий - подъяблонский

Наиболее вероятное объснение 'грибное'. От прозвищ или имен образованных от названий съедобных грибов. Но нельзи исключать и вариант пот живущий поб березками, под осинками. А еще Березки и Осинки могут быть названиями деревень. Тогда здесь же Подрябинников, Подтынников. .