Новейший философский словарь - математическая логика
Математическая логика
математическая логика
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА один из ведущих разделов современной логики и математики. Сформировался в 19-20 ст. как реализация идеи о возможности записать все исходные допущения на языке знаков, аналогичных математическим и тем самым заменить рассуждения вычислениями. Предыстория М.Л. связана с именами Аристотеля, Р. Луллия, Дж. Буля (1815-1864), создавшего ее аппарат; Фреге, развившего логико-математические языки; Дж. Пеа-но (1858-1932), попытавшегося изложить разделы математики на языке логики. В основании всех исканий лежало стремление создать специальное счетное устройство (прообраз компьютерных систем) и соответствующий техническим вычислениям язык передачи информации. Второй важной проблемой М.Л. является выбор исходных понятий и их обоснование. В конце 19 ст. казалось, что исходным может быть понятие множества; эта точка зрения была детерминирована эффектом от самого факта появления теории множеств как новой области математики (Б. Больцано, Г. Кантор). Рефлексия над феноменом множеств привела к обнаружению парадоксов в теории множеств. (Одним из тех, кто пытался "спасти" математику от этой проблемы был Д. Гильберт). С 20-х 20 в. начинается современный этап развития М.Л. Он связан с применением точных методов при изучении формальных аксиоматических задач. Суть их состоит в описании рассматриваемой теории на базе строгого логико-математического языка (формализация), с последующими процедурами логического анализа теории, а именно с точки зрения непротиворечивости (например, таких теорий, как элементарная геометрия, арифметика, анализ достаточно надежных оснований) и полноты (теорема Геделя о неполноте утверждает, что всякая достаточно богатая теория необходимо содержит утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, не опровергнув самой теории). Критике подверглись некоторые положения, используемые в математике без должного обоснования (закон исключенного третьего, аксиомы выбора и др.). Построение математики с учетом этих ограничений стало программой интуиционизма (один из авторов Я. Брадэр), конструктивизма (А.А. Марков). Основным объектом современной М.Л. являются исчисления. В качестве их компонентов выступают: 1) язык (формальный); 2) аксиомы; 3) правила вывода. На их основе стало возможным дать точное определение доказательства, получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории. Значительным достижением является и математическое определение понятия алгоритма (эффективной процедуры для решения задач из бесконечного класса задач).
Еще Лейбниц мечтал о нахождении алгоритма для решения всех математических проблем. Разработка теории алгоритма связана с именами К. Геделя, Ж. Эрбрана, С. Кли-ни, А. Тьюринга, А. Черча, А.А. Маркова, А.Н. Колмогорова, П.С. Новикова и др. М.Л. имеет несколько разделов, связанных с изучением понятия доказательства (теория доказательств), моделей (теория моделей Тарский, А.И. Мальцев). В ней очевидны синтаксический и семантический аспекты изучения формальных языков. Перспективы развития М.Л. предполагают высокую динамику как количественного, так и качественного роста кибернетических устройств. Другим стимулом являются достижения в разработке проблем обоснования математики (современный аксиоматический метод).
.Рейтинг статьи:
См. в других словарях
1.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — одно из названий современной логики, пришедшей во втор. пол. 19 — нач. 20 в. на смену традиционной логике. В качестве др. названия современного этапа в развитии науки логики используется также термин символическая логика. Определение «математическая» подчеркивает сходство новой логики с математикой, основывающееся прежде всего на применении особого символического языка, аксиоматического метода, формализации.М.л. исследует предмет формальной логики методом построения специальных формализованных языков, или исчислений. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правильного мышления традиционная логика. Новые методы дали логике такие преимущества, как большая точность формулировок, возможность изучения более сложных с т.зр. логической формы объектов. Многие проблемы, исследуемые в М.л., вообще невозможно сформулировать с использованием только традиционных методов.Иногда термин «М.л.» употребляется в более широком смысле, охватывающем исследование свойств дедуктивных теорий, именуемое...Философская Энциклопедия
2.
одно из названий современной логики, пришедшей во втор. пол. 19 нач. 20 в. на смену традиционной логике. В качестве др. названия современного этапа в развитии науки логики используется также термин символическая логика. Определение "математическая" подчеркивает сходство новой логики с математикой, основывающееся прежде всего на применении особого символического языка, аксиоматического метода, формализации.М.л. исследует предмет формальной логики методом построения специальных формализованных языков, или исчислений. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правильного мышления традиционная логика. Новые методы дали логике такие преимущества, как большая точность формулировок, возможность изучения более сложных с т.зр. логической формы объектов. Многие проблемы, исследуемые в М.л., вообще невозможно сформулировать с использованием только традиционных методов.Иногда термин "М.л." употребляется в более широком смысле, охватывающем исследование свойств дедуктивных теорий, именуемое металогикой или метаматематикой. ...Философский словарь
Вопрос-ответ:
Ссылка для сайта или блога:
Ссылка для форума (bb-код):
Самые популярные термины
1 | 371 | |
2 | 355 | |
3 | 349 | |
4 | 347 | |
5 | 346 | |
6 | 336 | |
7 | 330 | |
8 | 327 | |
9 | 324 | |
10 | 323 | |
11 | 322 | |
12 | 322 | |
13 | 321 | |
14 | 310 | |
15 | 309 | |
16 | 306 | |
17 | 304 | |
18 | 303 | |
19 | 301 | |
20 | 300 |