Энциклопедия техники - устойчивость гидродинамическая

В общей постановке задача об У. г. какого-либо течения требует исследования решения нелинейной системы уравнений с частными производными, что сделать чрезвычайно трудно. Поэтому обычно применяется метод возмущений теории, позволяющий линеаризовать уравнения (см. Линеаризованная теория течений). Наиболее полно этот метод исследования У. г. разработан для стационарных двумерных плоскопараллельных течений, например вязкой жидкости течения в канале постоянной ширины; таким же течением приближённо считается и ламинарный пограничный слой, толщина которого изменяется сравнительно медленно, а нормальная к стенке составляющая скорости мала.

Для плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости на основе неразрывности уравнения вводится функция тока (ψ), удовлетворяющая уравнению

Здесь

где (ψ) — частное решение приведённого уравнения, соответствующее функции тока основного течения в направлении оси Ох, а (ψ)* — малое возмущение. Подстановка этого выражения в уравнение приводит после отбрасывания членов второго порядка малости к линеаризированному уравнению для (ψ)*, коэффициенты которого зависят только от у. Следовательно, оно допускает решение вида

амплитуда f которого удовлетворяет обыкновенному линейному дифференциальному уравнению четвёртого порядка:

где V(у) — скорость основного течения, (α) — волновое число, а штрих означает дифференцирование по у. Это однородное уравнение, играющее важную роль в линейной теории У. г., называется уравнением Орра — Зоммерфельда, впервые получившими его в 1907—08. Краевые условия для возмущений требуют обращения в нуль обеих составляющих скорости на стенках, в случае неограниченного потока — на бесконечности. Таким образом, возникает задача о собственных значениях с вековым уравнением вида F((α), Re, с) = 0. Для каждой пары действительных величин (α) и Re существует, вообще говоря, комплексное собственное значение c = cr+ici, при котором уравнение для f с однородными краевыми условиями имеет нетривиальное решение. Его мнимая часть определяет нарастание (ci>0) или затухание (ci