Этимологический словарь Фасмера - багать

бага́ть ж., бага́тье "огонь, тлеющий под золой", укр. бага́ття, блр. бага́цце то же. Возм., к бажа́ть, бажи́ть "желать, жаждать". По-видимому, родственно греч. φώγω "жарю, поджариваю", д.-в.-н. bahhan "печь"; см. Бернекер 1, 38, где приводятся семантические параллели. Менее удовлетворительно допущение древнего эвфемизма (ср. Потебня, ЖСт., 1891, 3, 117, и Зеленин, Табу, 2, 59 и сл.), а также сближение с бога́тый.

Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс

М. Р. Фасмер

1964—1973