Математическая энциклопедия - дивергенция

расхождение, векторного поля а (х)в точке ( х ¹, . . . , х ^п)скалярная величина

где а' (х)компоненты вектора а(х).

Д. обозначается div a(x). или в виде скалярного произведения (С, а) Гамильтона оператора на вектор а (х).

Если векторное поле (х)есть поле скоростей установившегося течения несжимаемой жидкости, то div а (х)совпадает с интенсивностью источников (div a>0) или cтоков (div a<0) в точке х.

Интеграл

где r плотность жидкости, вычисленный для n-мерной области Е, равен количеству жидкости, "расходящейся" в единицу времени из Е. Это количество (см. Остроградского формула )совпадает с величиной

где N=(N1,... , N п)единичный вектор внешней нормали к дЕ, dsэлемент площади дЕ. Д. div а (х)является производной по объему потока поля а (х)через замкнутую поверхность:

Таким образом, Д. носит инвариантный относительно выбора системы координат характер.

В криволинейных координатах у=( у ¹,... , у ⁿ), y^j=

где

a si(y)орт, касающийся i-й координатной линии в точке у:

Д. тензорного поля

типа ( р, q), заданного в области n-мерного аффинного пространства связности, определяется с помощью абсолютных (ковариантных) производных компонент а(х)с последующей сверткой и является тензором типа ( р-1, q)с компонентами

В тензорном анализе и дифференциальной геометрии Д. называется также дифференциальный оператор, действующий в пространстве дифференциальных форм и связанный с оператором внешнего дифференцирования.

Лит.:[1] Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 9 изд., М., 1965; [2] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд , М., 1967.

Л. П. Купцов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985