Математическая энциклопедия - равновеликие и равносоставленные фигуры

две фигуры в R², имеющие равные площади и соответственно два многоугольника M1 и М 2 такие, что их можно разрезать на многоугольники так, что части, составляющие М 1, соответственно конгруэнтны частям, составляющим М 2.

Для , равновеликость означает равенство объемов; равносоставленность многогранников определяется аналогично с . Эти понятия обобщаются также на неевклидовы геометрии.

Площадь (многоугольника) есть функция s(M), удовлетворяющая следующим аксиомам:

(a) для любого многоугольника М;

(b) если Месть объединение многоугольников М 1 ,..., Mk, попарно не имеющих общих точек, то

s(M)=s(M1)+...+s(Mk);(g) если M1 и M2 конгруэнтны, то s(M1)=s(M2);

(d) площадь квадрата, стороной которого является единица длины, равна 1.

С помощью этих аксиом определяется площадь прямоугольника.

Теорема. Если два многоугольника равносостав-лены, то они равновелики.

На этой теореме основан метод разбиения, известный еще Евклиду: для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей, из к-рых можно составить фигуру известной площади. Напр., параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, имеющим то же основание и ту же высоту (см. рис. 1); треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту (см. рис. 2).

Таким образом, вся теория площадей многоугольников может быть построена на основе теоремы о площади прямоугольника.

Существует и другой способ вычисления площадей, основанный на аксиомах (b) и (g),метод дополнения. Два многоугольника наз. равнодополняемыми, если их можно дополнить соответственно конгруэнтными частями так, чтобы получились конгруэнтные многоугольники.

Напр., параллелограмм и прямоугольник с одинаковыми основаниями и одинаковыми высотами равнодополняемы (см. рис. 3) и потому равновелики.

В евклидовой плоскости два многоугольника в том и только в том случае равновелики, если они равносоставлены (а также если они равнодополняемы). Аналогичная теорема справедлива в плоскости Лобачевского и в эллиптической плоскости. Напротив, в неархимедовой геометрии эквивалентны лишь равновеликость и равнодополняемость; равновеликость же им не эквивалентна.

Теория объемов в базируется на аксиомах (а), (b), (g), (d), аналогичных аксиомам площади. Однако для вычисления объема тетраэдра со времен Евклида используется предельный переход ("чертова лестница"), а в современных учебниках интеграл, определение к-рого также связано с предельным переходом. Обоснование использования "лишнего" (по сравнению с планиметрией) предельного перехода, доказательство того, что методами разбиения и дополнения невозможно вычислить объем произвольного тетраэдра, составили третью проблему Гильберта. В 1900 М. Ден (М. Dehn), решил третью проблему, доказав, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Для равносоставленности двух равновеликих многогранников Mi и М 2 в необходимо и достаточно, чтобы для каждого инварианта Дена f(М).(нек-рой функции от длин ребер и величин соответствующих двугранных углов, см. [2]) выполнялось равенство f( М 1)=f(M2).

Имеются многомерные обобщения инвариантов Дена, с помощью к-рых сформулировано необходимое условие равносоставленности и доказано, что при правильный re-мерный симплекс не равносоставлен с равновеликим ему кубом. В необходимое условие равносоставленности является также и достаточным. Пусть G - нек-рая группа движений плоскости. Два многоугольника М 1 и М 2 наз. G-конгруэнтными, если существует такое движение , что g(M1)=M2. Два многоугольника М 1 и М 2 наз. G-равносоставленными, если их можно разрезать на части таким образом, что части, доставляющие M1, соответственно конгруэнтны частям, составляющим M2 Аналогично определяется G-равносоставленность многогранников.

Пусть S - группа движений, состоящая из всех параллельных переносов и центральных симметрии. Понятия равносоставленности и S-равносоставленности в R² эквивалентны. В частности, равновеликие многоугольники можно разбить на части таким образом, что соответствующие их части не только конгруэнтны, но и имеют соответственно параллельные стороны.

Равносоставленность в том и только в том случае эквивалентна G-равносоставленности, если в случае и в случае , где D0 - группа всех движений, сохраняющих ориентацию.