Математическая энциклопедия - многолистная функция

понятие, естественным образом обобщающее понятие однолистной функции. Функция , регулярная или мероморфная в области Dкомплексной плоскости z, наз. р-листной в D(р=1, 2, ...), если она принимает в этой области каждое свое значение не более рраз, т. е. если число корней уравнения в области Dпри любом w не превосходит р. Геометрически это означает, что над каждой точкой плоскости wлежит не более рточек римановой поверхности, на к-рую функция отображает область D. При р=1 функция f(z) является однолистной в области D.

Наряду с этим простейшим классом р-листных функций большую роль в теории М. ф. играют функции, р-листные в нек-ром обобщенном смысле, "р-листные в среднем". Пусть функция регулярна или мероморфна в области Dплоскости z,число корней уравнения в Dи р положительное число.

Функция наз. р-листной в среднем по окружности в D, если для всех выполняется условие:

Геометрически это означает, что линейная мера дуг, принадлежащих римановой поверхности, на к-рую функция отображает область D, и проектирующихся в любую окружность , не превосходит р длин таких окружностей. Функция f(z) наз. р-листной в среднем по площади в D, если

для всех . Геометрически это означает, что площадь проектирующейся в любой круг части римановой поверхности, на к-рую функция отображает область D, не превосходит р площадей таких кругов. Из этих определений следует, что функция, р-листная в нек-рой области, является в ней и р-листной в среднем по окружности, а функция, р-листная в среднем по окружности, является р-листной в среднем по площади. Функция, р-листная в среднем, может оказаться бесконечнолистной.

М. ф., как и однолистные, изучаются в различных направлениях: с точки зрения характеристики искажения области при ее отображениях этими функциями, оценки коэффициентов рядов, представляющих эти функции, и т. д. Они обладают многими экстремальными свойствами, аналогичными экстремальным свойствам однолистных функций. Напр., имеются следующие обобщения на случай р-листных функций двух классич. результатов теории однолистных функций площадей принципа и оценки второго коэффициента (см. Вибербаха гипотеза). Если функция

р-листна и регулярна в области , за исключением полюса в точке , то

Если функция

регулярна и р-листна в круге |z|<1, то

Неравенства (2) и (4) не могут быть улучшены. Эти два результата относятся к наиболее ранним основным результатам теории р-листных функций. Неравенство (2) доказано также для функций вида (1), р-листных в среднем по площади в , а неравенство (4) для функций вида (3), р-листных в среднем по площади в

Значительно продвинуть исследование класса р-листных функций позволило рассмотрение его как подкласса функций, р-листных в среднем. Получены для р-листных функций и точные аналоги основных теорем искажения и покрытия, известных для однолистных функций (см. Искажения теоремы, Покрытия теоремы), именно: для функций f(z) вида (3), р-листных в среднем по окружности в круге |z|<1, верны точные оценки:

функция f(z)принимает в |z|<l каждое значение wс ровно р раз (прямой аналог теоремы покрытия Кебе). Этим последним свойством обладают и функции вида (3), р-листные в среднем по площади в . Для функций, р-листных в среднем по окружности, получен ряд неулучшаемых результатов, характеризующих рост их коэффициентов. Так, для функции вида

р-листной в среднем по окружности в круге , , существует, и притом конечный, предел

и

при Всякий раз, когда получается оценка для , отсюда следует и соответствующая точная оценка асимптотич. роста коэффициентов. В частности, если имеет вид (3), то последнее равенство принимает вид

где , за исключением того случая, когда (вещественно). Далее, для функций вида (3), р-листных в среднем по окружности в круге , получена точная оценка:

а для подкласса р-листных функций такого вида была указана точная оценка и следующего коэффициента:

Два последних неравенства являются для М. ф. аналогами оценок и , известных для однолистных функции (см. Бибербаха гипотеза). Так.