Математическая энциклопедия - иенсена формула

соотношение, связывающее значения мероморфной функции внутри круга с ее граничными значениями на окружности и с ее нулями и полюсами. Пусть f(z)мероморфная функция в круге am, и bv , -соответственно все нули и полюсы f(z), причем каждый нуль или полюс считается столько раз, какова его кратность или порядок. Если то справедлива И. ф.:

в к-рой суммы распространены на все нули и полюсы f(z)внутри круга |z|<R; формула (1) получена И. Иенсеном [1]. Небольшое видоизменение позволяет приспособить формулу (1) и для случая f(0) = 0.

Справедлива и более общая формула, названная Р. Неванлинной формулой Пуассона Иенсена и дающая значения ln |f(z)| в любой точке z=re^iq, отличной от нулей и полюсов:

Формулу (2) можно рассматривать как обобщение Пуассона интеграла для круга. Точно так же, обобщая Шварца интеграл для круга, получают формулу Шварца Иенсена:

Возможно также построение формул типа (1) (3) для полуплоскости и других областей. Формулы (1) (3) играют важную роль в распределения значений теории.

Широкое обобщение формул (1) (3) получено М. М. Джрбашяном в его теории классов мероморфных функций (см. [3]). Ему удалось получить целое семейство таких формул, зависящее от нек-рого непрерывного параметра a, . связанного с интегродифференциальным оператором D^a, причем, напр., формула (3) оказывается частным случаем при a=0.

Формулы (1) и (2) обобщаются для субгармонич. функций (см. [4]) и(х)в шаре евклидова пространства Rⁿ, следующим образом:

где s(R).площадь сферы |y| = R в Rⁿ, G(x, у) Грина функция для шара |y|<R с полюсом в точке х,m положительная мера, ассоциированная с субгармонич. функцией и(х). Первое слагаемое в формуле (4) наименьшая гармоническая мажоранта функции и(х)в шаре выраженная в виде интеграла Пуассона от граничных значений; второе слагаемое потенциал Грина, в частных случаях вырождающийся в логарифмы модуля Бляшке произведений, фигурирующие в формуле (2), Формула (2) получается из (4) с учетом того, что ln |f(z)| для мероморфной функции f(z)есть разнoсть двух субгармонических функций; для функций последнего типа формула (4) также применима .

Пусть теперь f(z) голоморфная функция многих комплексных переменных z= (z1, ... , zn), в замкнутом поликруге

Большое значение имеет также легко выводимое из свойств плюрисубгармонических функций неравенство Иенсена, в случае n=1 непосредственно вытекающее из формулы (2):

где

ядро Пуассона для поликруга Uⁿ, mn(j)нормированная мера Хаара на остове

(см. [5], [6]). Неравенство (5) и нек-рые многомерные аналоги формулы (2) находят применения в современной многомерной теории распределения значений (см. [7]).

Лит.:[1] Jensen J. L., "Acta math.", 1899, v. 22, p. 359-64; [2] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.Л., 1941; [3] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, М., 1966; [4] Привалов И. И., Субгармонические функции, М.Л., 1937; 15] Владимиров В. С, Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [6] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [7] Гриффите Ф., Кинг Дж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, пер. с англ., М., 1976.

Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985