Математическая энциклопедия - категория

(в смысле Люстерника Шнирельмана) характеристика топологич. пространства Еминимальное число cat Е таких замкнутых множеств к-рыми можно покрыть Еи каждое из к-рых может быть стянуто в точку посредством непрерывной деформации в Е. К. является гомотопич. инвариантом (т. е. совпадает для всех топологич. пространств одного гомотопического типа). К. имеет важное значение для вариационного исчисления в целом, так как она оценивает снизу число стационарных (критических) точек гладкой функции на замкнутом многообразии. Уже простейшие примеры вроде функции/(х)= х, рассматриваемой на всей действительной оси и вообще не имеющей критич. точек, показывают, что за пределами класса замкнутых многообразий нельзя ожидать, чтобы такая оценка выполнялась для всех гладких функций. Тем не менее в ряде случаев удается получить аналогичную оценку для числа критич. точек различных изучаемых в вариационном исчислении функционалов, рассматриваемых как функции на бесконечномерных функциональных пространствах. Общих методов вычисления К. не имеется (хотя известно ее значение для некоторых конкретных пространств), известна только оценка

где (когомологическа я) длина long Eопределяется как наибольшее число классов когомологий положительной размерности, произведение которых может быть отлично от нуля. Поэтому иногда рассуждения проводят непосредственно в терминах когомологического умножения (или, двойственно, пересечения циклов), не обращаясь к К.

К. введена в [1], впервые вычислена в нетривиальном случае (для действительного проективного пространства) и сразу же использована для решения ряда задач, в том числе задачи Пуанкаре о трех замкнутых геодезических на поверхностях, гомеоморфных двумерной сфере [2].

Лит.:[1] Lusternik L., в кн.: "Atti del Congresso Internazionale dei Matematica", Bologna, 1931, t. 4, p. 291-96; [2] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г., "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, № 1, с. 166-217.

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985