Математическая энциклопедия - кооперативная игра

нестратегическая игра (см. Игр теория), задаваемая тройкой (I, u, H), где I множество (обычно конечное), элементы к-рого наз. игроками, а подмножества коалициям и, vвещественная функция, определенная на множестве коалиций и называемая характеристической функцией игры, Ннекоторое подмножество векторов Х I (компоненты х i к-рых соответствуют игрокам iиз I), называемых дележам и. К. и. впервые были введены Дж. Нейманом (J. Neumann, 1929) как аппарат кооперативной теории (бескоалиционных) игр.

В классической теории К. и. принимается:

На множестве Нвводится бинарное отношение доминирования (предпочтения) дележей по коалиции

Если для нек-рого то полагают

Относительно этого отношения доминирования формулируются понятия оптимальности дележей.

Значительная часть содержания теории К. и. состоит в разработке понятий оптимальности, в доказательствах их реализуемости для различных частных классов К. и. и фактическом нахождении таких реализаций. К числу принципов оптимальности, разрабатываемых применительно к К. п., относятся: двойная (т. е. внешняя и внутренняя) устойчивость, реализуемая в форме решений по Нейману Моргенштерну (Н-М-решения); недоминируемость дележей (см. Ядра в теории игр); устойчивость относительно угроз; устойчивость в смысле минимизации наибольшей неудовлетворенности (см. Устойчивость в теории игр), справедливость (см. Щепли вектор )и др.

Введение на классе К. и. алгебраич. операций приводит к исчислениям К. и. и к исследованию взаимосвязей между этими операциями и различными принципами оптимальности. Специальному изучению подвергались различные частные классы К. и., описанные ниже.

Простая игра К. и., в к-рой характеристич. функция vпринимает ровно два значения (обычно 0 и 1); при этом коалиции К, на к-рых достигается максимальное значение v(K), наз. выигрывающими. Частным случаем простых игр является взвешенная мажоритарная игра, в к-рой коалиция Кявляется выигрывающей, если >где некоторые заданные числа.

Сбалансированная игра К. и., для характеристической функции которой

если семейство коалиций и числа таковы,

что

где cK(i)= 1, если и 0 в противном случае.

Сбалансированные игры и только они имеют непустое с-ядро.

Выпуклая игра К. п., для характеристич. функции к-рой при К,

В выпуклой игре с-ядро непусто и совпадает с единственным Н М-решением. Если К. п. строго выпуклая (т.