Математическая энциклопедия - нульмерное пространство

в смысле ind пространство, обладающее базой из множеств одновременно открытых и замкнутых в нем. Каждое дискретное пространство нульмерно, однако Н. п. может не иметь изолированных точек (пример пространство рациональных чисел ). Все нульмерные пространства вполне регулярны. Нульмерность пространства наследуется его подпространствами и влечет сильную несвязность пространства: единственными связными множествами в Н. п. являются одноточечное и пустое. Однако последнее свойство, наз. вполне несвязностью, не равносильно нульмерности. Существуют ненульмерные пространства, в к-рых каждая точка представима в виде пересечения нек-рого семейства открыто-замкнутых множеств, но среди таких пространств нет бикомпактов.

Иногда нульмерность пространства понимается более узко. Пространство наз. нульмерным в смысле dim, если во всякое его конечное открытое покрытие можно вписать открытое покрытие, элементы к-рого не пересекаются. Пространство наз. нульмерным в смысле Ind, если любая окрестность любого его замкнутого подмножества содержит открыто-замкнутую окрестность этого подмножества. В классе -пространств нульмерность в смысле ind вытекает как из нульмерности в смысле dim, так и из нульмерности в смысле Ind. В классе метризуемых пространств со счетной базой, а также в классе бикомпактов указанные три определения нульмерности равносильны. Для всех метризуемых пространств нульмерность в смысле dim равносильна нульмерности в смысле Ind, однако известен пример нульмерного в смысле ind метризуемого пространства, к-рое не нульмерно в смысле Ind. Ни нульмерность в смысле dim, ни нульмерность в смысле Ind не наследуется, вообще говоря, подпространствами. Среди -пространств Н. п. в смысле ind характеризуются с точностью до гомеоморфизма как подпространства обобщенных канторовых дисконтинуумов произведений двоеточий. Любые вполне регулярные пространства можно получить как образы Н. п. при достаточно хороших отображениях, напр. при совершенных отображениях и при непрерывных открытых отображениях с бикомпактными прообразами точек. Однако непрерывные отображения, открытые и замкнутые одновременно, сохраняют нульмерность в смысле ind и в смысле Ind. Неизвестно (1981), каждое ли вполне регулярное пространство содержит всюду плотное нульмерное подпространство.

Лит.:[1] Александров П. С, Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности..., М., 1973.

А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985