Математическая энциклопедия - плюригармоническая функция
Связанные словари
Плюригармоническая функция
функция u=u(z).от пкомплексных переменных z=(z1 . . ., zn) в области Dкомплексного пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные но координатам до 2-го порядка включительно и удовлетворяющая в Dсистеме n2 уравнений:
(1)
Применяя формальные производные
можно записать систему (1) в более компактной форме:
(2)
Значение класса П. ф. определяется тем, что действительная и мнимая части любой голоморфной в области Dфункции j=u+iv являются П. ф. в D;такие две (действительные) П. ф. наз. сопряженными. Обратно, если дана П. ф. ц в окрестности Vточки , то в этой окрестности существует голоморфная функция f=u+iv, действительная часть к-рой равна и. Задача определения этой голоморфной функции f сводится к нахождению сопряженной П. ф. У по формуле
где интеграл не зависит от пути в силу (1).
Вообще говоря, рассматриваются сами по себе и комплексные П. ф., определяемые как решения системы (1) или (2). При n>1 П. ф. составляют правильный подкласс класса кратногармонических функций, к-рый, в свою очередь, есть правильный подкласс класса гармонических функций:при n=1 все эти три класса совпадают. С другой стороны, при действительные П. ф. составляют правильный подкласс класса плюрисубгармонических функций, к-рый, в свою очередь, при n>1 является правильным подклассом класса субгармонических функций.
Кроме общих свойств гармонич. функций, П. ф. при n>1 обладают характерными свойствами, обусловленными в основном переопределенностью системы (1) или (2) в этом случае. Пусть, напр., при n>1 П. ф. и(z) в единичном поликруге
непрерывна в замкнутом поликруге . При этом даже ее граничные значения на остове , являющемся правильной частью всей границы дUn, не могут быть заданы в виде произвольной непрерывной функции , они удовлетворяют определенным дополнительным условиям. Таким образом, задача Дирихле в классе П. ф. с данными на остове разрешима лишь при специально подобранных граничных данных (см. [3]).
Лит.:[1] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [2] Соломенцев Е. Д., в кн.: Итоги науки. Математаческий анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1962, М., 1964, с.83-100; [3] Рудин У., Теория функций в поликруге, пер. с ангд., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
И. М. Виноградов
1977—1985
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 558 | |
2 | 484 | |
3 | 482 | |
4 | 474 | |
5 | 455 | |
6 | 441 | |
7 | 439 | |
8 | 435 | |
9 | 426 | |
10 | 425 | |
11 | 423 | |
12 | 414 | |
13 | 407 | |
14 | 377 | |
15 | 376 | |
16 | 373 | |
17 | 367 | |
18 | 366 | |
19 | 365 | |
20 | 364 |