Математическая энциклопедия - покоординатного спуска метод

один из методов минимизации функций многих переменных, использующий лишь значения минимизируемой функции. П. с. м. применяется в тех случаях, когда минимизируемая функция недифференцируема или вычисление ее производных требует большого объема работы. Ниже описан П. с. м. для задачи минимизации функции F(x).на множестве

где ai, bi - заданные числа, ai<bi; случаи, когда все или нек-рые , здесь не исключаются. Пусть еi=(0, . . ., 0, 1, 0, . . ., 0) координатный вектор, у к-рого t-я координата равна 1, остальные координаты равны нулю. Задают начальное приближении . Пусть известно k-е приближение при каком-либо . Полагают , где (здесь [а]целая частьчисла а). Таким образом,

т. е. осуществляется циклич. перебор координатных векторов e1, . . ., е п. Сначала проверяют выполнение условия

(1)

Если (1) выполняется, то полагают , . Если (1) не выполняется, то проверяют условие

(2)

В случае выполнения условия (2) полагают . Если оба условия (1), (2) не выполняются, то полагают ,

где l, 0<l<1,параметр метода. Условия (3) означают, что если за один цикл из n итераций при переборе всех координатных векторов е1, . . ., е п с шагом ak выполнилось хотя бы одно из условий (1) или (2), то длина шага ak не дробится и сохраняется на протяжении по крайней мере следующего цикла из питераций; если же на последних питерациях оба условия (1), (2) ни разу не выполнились, то шаг ak. дробится.

Если функция F(x).выпукла и непрерывно дифференцируема на X, множество ограничено, a0 произвольное положительное число, то метод (1) (3) сходится, т. е.

последовательность { хk} сходится к множеству точек минимума F(x).на X. Если F(x).недифференцируема на X, то П. с. м. может не сходиться (см. [1], [2]).

Лит.:[1] Васильев Ф. П., Численные методы решения экстремальных задач, М., 1980; [2] Карманов В. Г., Математическое программирование, 2 изд., М., 1980.

Ф. П. Васильев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985