Математическая энциклопедия - рао - крамера неравенство

н е р а в е нс т в о Ф р е ш е, н е р а в е н с т в о и н ф о р м а ц и и,неравенство в математич. статистике, устанавливающее нижнюю границу риска в задаче статистич. оценивания неизвестного параметра относительно квадратичной функции потерь.

Пусть распределение вероятностей случайного вектора X=(X1, ..., Х n), принимающего значения в n-мерном евклидовом пространстве , задается плотностью вероятности , и пусть в качестве оценки неизвестного скалярного параметра q Используется статистика Т= Т(X).такая, что

где b(q) нек-рая дифференцируемая функция, называемая с м е щ е н и е м статистики Т. В таком случае при определенных условиях регулярности семейства , одно из к-рых заключается н отличии от нуля и н ф о р м а ц и о н н о г о к о л и ч е с т в а Ф иш е р а

имеет место н е р а в е н с т в о Р а о К р а м е р а

(1)

устанавливающее нижнюю границу для среднеквадратичной ошибки всех оценок Тнеизвестного параметра q, имеющих одну и ту же функцию смещения b(q).

В частности, если статистика Тявляется несмещенной оценкой параметра q, то есть , то из (1) следует, что

(2)

Таким образом, в этом случае Р.К. н. показывает нижнюю границу для дисперсий несмещенных оценок Тпараметра q, к-рая равна , и, кроме того, Р.К . н. демонстрирует, что существование состоятельных оценок связано с неограниченным ростом информационного количества Фишера I(q) при . В случае если в Р.К. н. (2) достигается равенство для какой-то Несмещенной оценки Т, то она является наилучшей в смысле минимума квадратичного риска в классе всех

несмещенных оценок и наз. э ф ф е к т и в н о й о ц е н к о й. Напр., если Х 1, Х2, ... , Х пнезависимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же нормальному закону N (q, 1), то статистика

является эффективной оценкой неизвестного математич. ожидания q.

В общем случае равенство в (2) достигается тогда и только тогда, когда семейство является экспоненциальным, т. е. плотность вероятности случайного вектора Xпредставима в виде

причем эффективной оценкой для параметра q в этом случае является достаточная статистика T=j(X). В тех случаях, когда эффективные оценки не существуют, нижнюю границу дисперсий несмещенных оценок следует уточнять в силу того, что Р.К. н. дает лишь нижнюю границу, к-рая не обязательно является точной нижней границей. Напр., если Х 1,... , Х nнезависимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же нормальному закону , то нижней границей для дисперсий несмещенных оценок параметра аявляется

в то время как

Вообще, если в Р.К. н. (2) равенство не достигается, то это не означает, что найденная оценка не является наилучшей, т. к. она может оказаться единственной несмещенной оценкой.

Существуют различные обобщения Р.К. н. на случай векторного параметра, а также на случай, когда оценивается неизвестная функция от этого параметра. Именно в этих случаях большую роль играют уточнения нижней границы в Р.К. н.

Неравенство (1) было получено независимо друг от друга М. Фреше (М. Frechet), Рао (С. R. Rao), Г. Крамером (Н. Cramer).

Лит.:[1] К р а м е р Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] В а н д е р В а р д е н Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; [3] Б о л ь ш е в Л. Н., "Теория вероятностей и её применения", 1961, т. 6, № 3, с. 319-20; [4] В h a t t а с h а r у у a A., "Sankhya", 1946, v. 8, № 1, p. 1 14; 1947, v. 8, №3, p. 201 18; 1948, v. 8, № 4, p. 315 28. М. С. Никулин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985