Математическая энциклопедия - рефлексивное пространство

банахово пространство X, совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным X**. Подробнее, пусть X* - пространство, сопряженное с X, то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на X. Если <x, f> значение функционала на элементе , то при фиксированном хи f, пробегающем X*, выражение будет линейным функционалом на X*, то есть элементом пространства X**. Пусть -множество такие функционалов. Соответствие есть изоморфизм, не меняющий нормы . Если , то пространство Xназ. р е ф л е к с и в н ы м. Пространства , рефлексивны, пространство C[ а, b]не рефлексивно.

Пространство Xрефлексивно тогда и только тогда, когда X* рефлексивно. Другим критерием рефлексивности банахова пространства Xявляется слабая компактность единичного шара этого пространства.

Р. п. слабо полно, и замкнутое подпространство Р. п. рефлексивно.

Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Лит.:[1] Д а н ф о р д H., Ш в а р ц Д ж., Линейные операторы, ч. 1 Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [2] И о с и д а К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [3] К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985