Математическая энциклопедия - риккартово кольцо

левое, л е в о е РР-кольцо, кольцо, в к-ром левый аннулятор любого элемента порождается идемпотентом (симметричным образом определяются п р а в ы е Р. к.). Р. к. характеризуются проективностью всех главных левых (правых) идеалов. Риккартовыми являются регулярные, бэровские и полунаследственные кольца. Левое Р. к. не обязано быть правым Р. к. Может не быть риккартовым и кольцо матриц над Р. к. Кольца эндоморфизмов всех свободных левых R-модулей суть Р. к. тогда и только тогда, когда Rнаследственно слева. Все эти кольца будут правыми Р. к. в том и только в том случае, когда R наследственно слева, совершенно слева и когерентно справа. Сами же кольца эндоморфизмов при этих условиях оказываются бэровскими (см. Регулярное кольцо). Коммутативное кольцо Rявляется Р. к. тогда и только тогда, когда его полное кольцо частных регулярно в смысле Неймана и для всякого максимального идеала кольца Rкольцо частных не имеет делителей нуля. Кольцо многочленов над коммутативным Р. к. является Р. к.

Кольцо с инволюцией * наз. р и к к а р т о в ы м *к о л ь ц о м, если левый аннулятор любого элемента порождается проекцией, т. е. таким элементом е, что . Аналогичное свойство для правых аннуляторов при этом выполняется автоматически. Проекции риккартова *-кольца образуют решетку. Эта решетка полна в том и только в том случае, когда проекцией порождается аннулятор любого множества. Такие кольца наз. б э р о в с к и м и * кольцами.

Термин "Р. к." введен в честь Ч. Риккарта, рассмотревшего соответствующее свойство в кольцах операторов (см. [1]).

Лит.:[1] R i с k а r t С. Е., "Ann. math.", 1946, v. 47, p. 528-50; [2] B e r b e r i a n S. K., B a e r *-rings, В[а. о.], 1972; [3] К а р 1 a n s k у J., Rings of operators, N. Y.Amst., 1968; [4] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1981, с. 31 134. Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985