Математическая энциклопедия - семимартингал

стохастический процесс, представимый в виде суммы локального мартингала и процесса локально ограниченной вариации. При формальном определении С. исходят из допущения, что все рассмотрения ведутся на стохастич. базисе , где . Стохастич. процесс наз. семимартингалом, если его траектории непрерывны справа и имеют пределы слева и он представим в виде Xt=Mt+Vt, где локальный мартингал, а процесс локально ограниченной вариации, т. е.

Такое представление, вообще говоря, неоднозначно. Однако в классе разложений с предсказуемыми процессами V рассматриваемое представление единственно (с точностью до стохастич. эквивалентности). К классу С. относятся (помимо локальных мартингалов и процессов с локально ограниченными вариациями) локальные супермартингалы и субмартингалы, процессы Xс независимыми приращениями, для к-рых функция является функцией локально ограниченной вариации для любого (и значит все процессы со стационарными независимыми приращениями), процессы Ито, процессы диффузионного типа и др. Класс С. инвариантен относительно эквивалентной замены меры. Если Xесть С., a f=f(x) дважды непрерывно дифференцируемая функция, то = также С. При этом (ф о р м у л а И т о)

или, что эквивалентно,

где квадратич. вариация семимартингала X, то есть

непрерывная часть квадратич. вариации [X, X], , а рассматриваемые интегралы понимаются как стохастич. интегралы по С.

Если Xесть С., то процесс с

имеет ограниченные скачки, , и в силу этого он допускает единственное представление вида

где предсказуемый процесс локально ограниченной вариации, а -локальный мартингал. Этот мартингал однозначным образом представим как M=M^c+M^d, где непрерывный локальный мартингал (непрерывная мар-тингальная составляющая семимартингала X),а

чисто разрывный локальный мартингал, к-рый может быть записан в виде

где dm=m(w, dt, dx) - случайная мера скачков семимартингала X, то есть

a dv=v(w, dt, dx) - ее компенсатор. Поскольку

то всякий семимартингал X допускает представление

к-рое наз. каноническим представлением (р а з л о ж е н и е м).

Набор (предсказуемых) характеристик , где квадратич. характеристика М ^с,т. е. такой предсказуемый возрастающий процесс, что является локальным мартингалом, наз. т р и п л е т о м локальных (предсказуемых) характеристик X.

Лит.:[l] J а с о d J., Calcul stochastique et problemes de mar-tingales, В., 1979 (Lecture notes in mathematics, № 714). A. Н. Ширяев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985