Математическая энциклопедия - скачкообразный процесс

случайный процесс, к-рый изменяет свое состояние только в случайные моменты времени, образующие возрастающую последовательность. Иногда термин "С. п." относят к любому процессу с кусочно постоянными траекториями.

Важный класс С. п. образуют марковские С. п. Марковский процесс является С. п., если его переходная функция P(s, x, t, В).такова, что

где Ib(x) индикатор множества Вв фазовом пространстве , и выполнены условия регулярности, заключающиеся в том, что сходимость в (1) равномерна и ядро q(s, х, В).удовлетворяет нек-рым требованиям ограниченности и непрерывности.

Пусть

и П (t, х, В)=0 -в противном случае. Введенные величины допускают следующую интерпретацию: с точностью до о(Dt) (при ) a(t, x)Dt есть вероятность того, что в промежуток времени (t, t+Dt). процесс покинет состояние х; П(f, х, В), когда a(t, x)>0, есть условная вероятность попадания процесса во множество В при условии, что в момент tон покидает состояние x.

При выполнении условий регулярности переходная функция С. п. дифференцируема по tпри t>s,no sпри s<t и удовлетворяет прямому и обратному уравнениям Колмогорова с соответствующими граничными условиями:

Пусть непрерывный справа строго марковский С. п., Т n - момент n-го скачка процесса, T0=0, Yn=XTn,Sn - время пребывания в n-м состоянии, момент обрыва, , где d точка вне Е. Тогда последовательность ( Т п, Yn).образует однородную цепь Маркова. При этом если X - однородный марковский процесс, то распределение Sn при заданном Yn=x - показательное с параметром l(x).

Естественным обобщением марковских С. п. являются полумарковские С. п., для к-рых последовательность (УД) является цепью Маркова, однако время пребывания в n-м состоянии зависит от Yn и Yn+1 и имеет произвольное распределение.

При исследовании общих С. п. оказался плодотворным т. н. мартингальный подход. В рамках итого подхода удается получить содержательные результаты без дополнительных предположений о вероятностной структуре С. п. При мартингальном подходе предполагается, что на вероятностном пространстве где задан С. п. X, фиксировано неубывающее непрерывное справа семейство s-алгебр , причем для каждого tслучайная величина Х t является измеримой и, значит, моменты Т nмарковскими.

Пусть предсказуемая s-алгебра на . Случайная мера hна наз. предсказуемой, если для любой неотрицательной измеримой функции f процесс , где

является предсказуемым.

Пусть m=m(dt, dx) - мера скачков процесса X, т. е. целочисленная случайная мера на , определенная равенством

При весьма широких предположениях на (выполненных, в частности, когда Е - полное сепара-бельнос метрич. пространство с борелевской s-алгеброй

) существует предсказуемая случайная мера v=v(dt, dx).такая, что имеет место любое из следующих двух эквивалентных условий:

1) для любой неотрицательной -измеримой функции f;

2) при любых и процесс

является мартингалом, выходящим из нуля.

Предсказуемая случайная мера v определена однозначно с точностью до множества Р-меры нуль н наз. компенсатором (или дуальной предсказуемой проекцией) m. Можно выбрать такой вариант v, что

Пусть W пространство траекторий С. п. X, принимающих значения в ,

Р 0 - вероятностная мера, для к-рой выполнено (2). Тогда на найдется и притом единственная вероятностная мера Ртакая, что v является компенсатором m относительно Ри сужение Рна совпадает с Р 0. Доказательство этого утверждения опирается на явную формулу, связывающую условные распределения величин ( Т п, Yn).и компенсатор, к-рый в ряде случаев оказывается более удобным средством для описания С. п. С. п. является процессом с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда ему отвечает детерминированный компенсатор.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Успехи матем. наук", 19:(8, т. 5, с.5 41; [2] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; [3] Jасо J., Calcul stochastique et problemes de martingales, B.[a.o.], 1979. Ю. М. Кабанов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985