Математическая энциклопедия - сложная функция

функция, представленная как композиция нескольких функций. Если множество значений Yi функции fi содержится во множестве определения Х i+1 функции fi+1, т. е.

то функция определяемая равенством

наз. сложной функцией или (п-1)-кратной композицией (суперпозицией) функций f1, f2, . . ., fn. Напр., всякая рациональная функция любого числа переменных является композицией четырех арифметич. действий, т. е. композицией функций х+у, x-у, ху, х/у.

С. ф. сохраняет многие свойства функций, композицией к-рых она является. Так, композиция непрерывных функций непрерывна. Это означает, что если функция непрерывна в точке , а функция f2 : YZ непрерывна в точке , то С. ф. f2 о/f1 также непрерывна в точке х 0 (здесь X, Y и Zявляются, напр., топологии, пространствами). Подобным образом, композиция праз (непрерывно) дифференцируемых функций представляет собой также праз (непрерывно) дифференцируемую функцию, n=1, 2, ... Композиция возрастающих (убывающих) функций есть возрастающая (соответственно убывающая) функция. При композиции функций иногда меняются количественные характеристики свойств функций: композиция функций f1 и f2, удовлетворяющих условию Гёльдера нек-рых степеней, есть функция, удовлетворяющая условию Гёльдера степени, равной произведению степеней условий Гёльдера, к-рым удовлетворяют функции f1 и f2. Нек-рые характеристики функций не сохраняются при композиции. Так, композиция функций, интегрируемых по Риману или по Лебегу, не является, вообще говоря, функцией, интегрируемой по Риману или, соответственно, по Лебегу; композиция абсолютно непрерывных функций может оказаться не абсолютно непрерывной функцией. Вместе с тем, согласно результатам Н. К. Бари и Д. Е. Меньшова [1], композиция трех абсолютно непрерывных на отрезке функций не приводит к новому классу функций по сравнению с композицией двух абсолютно непрерывных функций. Н. К. Бари [2] доказала, что любая непрерывная на отрезке функция может быть представлена в виде суммы трех композиций абсолютно непрерывных функций, и есть такие непрерывные функции, к-рые но могут быть представлены в виде суммы двух таких композиций. Вместе с тем, всякая непрерывная на отрезке функция является суммой двух композиций функций с ограниченным изменением; однако n-кратные композиции функций с ограниченным изменением для каждого п=1, 2, ... приводят к существенно новым классам функций и существуют однократные композиции функций с ограниченным изменением, не являющиеся непрерывными функциями [3].

Понятие композиции функций представляет собой наиболее широкое понимание термина "представление функции формулой". Задача о представлении функций в виде композиций возникла в связи с отысканием формул для решений алгебраич. уравнений. Всякий корень уравнения степени не выше четвертой может быть представлен формулой, выражающей его через коэффициенты уравнения и представляющей собой композицию четырех арифметич. действий и радикалов. Всякое уравнение степени может быть с помощью подстановки (наз. преобразованием Чирнгаузена) приведено к виду

Таким образом, каждый корень уравнения степени представляет собой функцию п-4 параметров. Задача состоит в выяснении: можно ли эти функции представить в виде композиции алгебраич. функций меньшего числа неременных. Одна из 23 проблем Д. Гильберта (D. Hilbert), поставленных им на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900, относилась к этой задаче. Именно, 13-я проблема состояла в следующем (см. [4]): представляется ли корень f уравнения

(*)

через коэффициенты х, у и z этого уравнения посредством композиций каких-либо непрерывных функций двух переменных (следует отметить, что всякая функция конечного числа переменных является композицией разрывных функций двух переменных). Д. Гильбертом была показана невозможность получения всех аналитич. ций трех переменных в виде композиций аналитич. ций двух переменных. Он же для уравнения 9-й степени доказал [5], что решение уравнения 9-й степени можно представить в виде композиции алгебраич. функций четырех переменных (вместо пяти, как это сразу следует из применения преобразования Чирнгаузена). Эти исследования были продолжены многими математиками (см. [6] [19]).

А. Г. Витушкин в 1954 доказал [10], что если натуральные числа m, п, m1 и n1 удовлетворяют неравенству , то можно указать праз дифференцируемую функцию тпеременных, непредставимую в виде композиции n1 раз дифференцируемых функций от m1 переменных. В частности, при всяком пможно указать функцию ппеременных наперед заданной гладкости, непредставимую композицией функций меньшего числа переменных той же гладкости. В этом смысле среди гладких функций любого числа переменных существуют функции, существенно зависящие от всех своих аргументов.