Математическая энциклопедия - суслина теорема

(в дескриптивной теории множеств)

1) Существует А-множество (числовой прямой не являющееся борелевским множеством.

2) Для того чтобы данное А-множество было борелевским, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было также А-множеством.

3) Всякое А-множество n-мерного пространства есть (ортогональная) проекция борелевского (даже типа множества пространства (и следовательно, существует плоское борелевское множество типа проекция которого не является борелевским множеством); проекция всякого А-множества есть А-множество.

Все эти результаты получены М. Я. Суслиным [1]. Для определения А-множества там использовалась А-операция, а другие способы задания А-множеств были найдены позже. А-операция фактически построена П. С. Александровым [2], к-рый показал (хотя явно и не формулировал), что всякое борелевское множество может быть получено как результат А-операции над замкнутыми множествами (следовательно, является А-множеством), и использовал это для доказательства теоремы о мощности борелевских (на самом деле, А- )множеств пространства После этого Н. Н. Лузиным был поставлен вопрос о существовании А-множества, не являющегося борелевским. Ответом на этот вопрос и явилась теорема 1). Теоремы 1) и 2) даны М. Я. Суслиным [1] без доказательств. Доказательства их, полученные М. Я. Суслиным, были позже упрощены Н. Н. Лузиным и только тогда опубликованы. Для доказательства теоремы 1) М. Я. Суслин построил плоское А-множество, универсальное для всех борелевских множеств и рассмотрел множество его точек, лежащих на диагонали х=у (см. [3], с. 94). Теорема 2) теперь часто наз. критерием Суслина борелевских множеств. Доказательство М. Я. Суслина этой теоремы было основано на разложении СА-множества на сумму борелевских множеств (см. [4], [5]).

Лит.:[1] Суслин М. Я., лС. r. Acad. sci.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985