Математическая энциклопедия - тяжелого шарика метод

метод решения задачи минимизации дифференцируемой функции f(x)на евклидовом пространстве Е ^п. Метод основан на рассмотрении системы дифференциальных уравнений

к-рая описывает движение материальной точки по поверхности y=f(x)в поле тяжести, направленном в отрицательном направлении оси О у, при условии, что точка не может оторваться от поверхности и трение пропорционально скорости; f'(х) - градиент функции f(x)в точке х, - коэффициент трения. Этим объясняется название метода. Учитывая, что в окрестности стационарной точки величина |f' (х)| - мала, систему (1) часто заменяют системой

При нек-рых предположениях относительно функции f(x)и начальных условий

можно доказать, что соответствующее решение x(t)системы (1) или (2) при сходится к какой-либо стационарной точке x* функции f(x);eсли f(x) выпуклая функция, то x* -точка минимума f(х) на Е ⁿ. Таким образом, Т. ш. м. является частным случаем установления метода (см. [1]). Для численного решения систем (1), (2) могут быть применены, напр.; разностные методы. В зависимости от выбора разностного метода получаются дискретные аналоги Т. ш. м., охватывающие как частный случай овражных функций методы минимизации, сопряженных градиентов метод и т. п. Выбор величины шага разностного метода и коэффициента асущественно влияют на скорость сходимости Т. ш. м. Вместо (1), (2) возможно использование других систем 1-го или 2-го порядка (см. [1]). В задачах минимизации функции f(x) при ограничениях

Т. ш. м. применяется в сочетании с штрафных функций методом, Лагранжа функцией и др. (см. [2], [3]).

Лит.:[1] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975; [2] Васильев Ф. П., Численные методы решения экстремальных задач, М., 1980; [3] Евтушенко Ю. Г., Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации, М., 1982.

Ф. П. Васильев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985