Математическая энциклопедия - условное распределение

функция элементарного события и борелевского множества, при каждом фиксированном элементарном событии являющаяся распределением, вероятностей, а при каждом фиксированном борелевском множестве условной вероятностью.

Пусть -вероятностное пространство, есть -алгебра борелевских множеств на прямой, X-случайная величина, определенная на -под-алгебра Функция определенная на наз. (регулярным) условным распределением случайной величины Xотносительно -алгебры если:

а) при фиксированном функция -измерима,

б) с вероятностью единица при фиксированном функция является вероятностной мерой на

в) для произвольного

Аналогично определяется У. р. случайного элемента со значениями в произвольном измеримом пространстве Если -полное сепарабельное метрич. пространство, есть -алгебра борелевских множеств, то У. р. случайного элемента относительно любой -алгебры существует.

Функцию наз. условной функцией распределения случайной величины Xотносительно -алгебры

У. р. (условная функция распределения) случайной величины Xотносительно случайной величины У определяется как У. р. (условная функция распределения) Xотносительно s-алгебры, порожденной Y.

Условная функция распределения Fx(x|Y) случайной величины Xотносительно Y является борелевской функцией от Y; при Y=y ее значение FX(x|Y=у) наз. условной функцией распределениях при фиксированном значении Y. Пусть Y имеет плотность распределения fY (у), тогда

где FX,Y(x, y)совместная функция распределения X и Y.

Лит.: [1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [2] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962; [3] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971.

В. Г. Ушаков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985