Математическая энциклопедия - высота идеала

минимум высот простых идеалов, содержащих данный идеал. Высота простого идеала в кольце А - наибольшее число h(или , если такого числа нет) такое, что существует цепочка различных простых идеалов

Ковысота простого идеала определяется как наибольшее h, для к-рого существует цепочка простых идеалов

Иначе говоря,

где dim означает размерность соответствующего кольца по Круллю. Высота простого идеала равна коразмерности многообразия, определяемого идеалом, а ковысота размерности этого многообразия. Высота и ковысота простого идеала связаны неравенством

равенство достигается, напр., в случае, когда А- локальное Казна Маколея кольцо.

Простые идеалы высоты 0 -это минимальные простые идеалы. Существование в нётеровой области целостности простых идеалов высоты 1 устанавливает теорема о главном идеале: высота ненулевого главного идеала равна 1 (см. Крулля кольцу). Более общий результат теорема Крулля связывает высоту с числом образующих идеала: в нётеровом кольце В. и., порожденного r элементами, не превосходит r, и обратно: простой идеал высоты rявляется минимальным среди простых идеалов, содержащих некоторые rэлементов. В частности, в нётеровом кольце любой идеал имеет конечную высоту; в отношении ко-высоты это уже не так (см. [2]).

Лит.:[1] Кrull W., Primidealketten in allgemelnen Ring-bereichen, В.-Lpz., 1928; [2] Nagata M., Local rings, N. Y., 1962; [3]3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [4] Серр Ж. П., "Математика", 1963, т. 7, Ks 5, с. 3-93. В.