Математическая энциклопедия - алгебраическая теория чисел

раздел теории чисел, основной задачей к-рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п - могут быть получены с помощью фундаментального базиса если в линейной форме каждое пробегает все целые рациональные числа. При этом такое представление для каждого целого числа из Кединственно.

Переход от целых рациональных чисел к целым алгебраическим не сопровождается ожидаемыми аналогиями. Первое нарушение аналогии относится к единицам. В то время как поле рациональных чисел имеет только две единицы: в общих полях алгебраич. чисел может быть даже бесконечно много единиц. Пусть, напр., имеется вещественное квадратичное поле где целое рациональное число, не равное точному квадрату. Его фундаментальный базис имеет вид . У двучленного Пелля уравнения х ²-Dy²=1бесконечно много целочленных решений ( х, у). Любое из них порождает единицу поля . Именно,

тоже является целым числом поля . Единицы этого поля образуют бесконечную мультипликативную группу (группу единиц Пелля). Возникает вопрос о том, как устроена эта группа.

Второе нарушение аналогии, при переходе от поля рациональных чисел к полю алгебраич. чисел, связано с теоремой об однозначном разложении целых рациональных пна простые множители:

Для алгебраич. чисел это уже не так. Пусть, напр., имеется поле в нем число 6 можно разложить двумя существенно различными способами: 6=2*3, При переходе к полям более высокой степени картина усложняется. Возникает вопрос: что происходит с теоремой об однозначном разложении и имеет ли она вообще смысл в полях алгебраич. чисел.

Третье нарушение аналогий доставляют простые числа. При переходе к полям алгебраич. чисел они, вообще говоря, перестают быть простыми. Так, простое число 5 в поле гауссовых чисел распадается на два: . Но в этом же поле число 7 остается простым. Возникает вопрос: существуют ли общие законы, управляющие поведением простых чисел при переходе к полям алгебраич. чисел более высокой степени. Другими словами, можно ли найти правила, к-рые давали бы однозначный ответ на вопрос остается данное простое число простым при переходе к полю или распадается в нем, и если распадается, то на сколько множителей.

И наконец, последний (четвертый) вопрос касается общей структуры полей алгебраич. чисел. Поле является минимальным полем с нулевой характеристикой и не содержит собственных подполей. Любое другое поле алгебраич. чисел уже имеет подполя. Так, служит подполем любого поля алгебраич. чисел. Возникает вопрос: сколько подполей содержит данное поле конечное или бесконечное и как они устроены. Эти четыре вопроса являются главными в А. т.