Математическая энциклопедия - боголюбова теорема

1) Б. т. "острие клина"-обобщение принципа аналитического продолжения, особенно для случая многих комплексных переменных; получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 при обосновании дисперсионных соотношений в квантовой теории поля (см. [1], Дополнение А). Современная формулировка: пусть функция , голоморфна в открытом множестве где такой открытый конус в Rⁿ с вершиной в нуле, что открытое множество содержится в шаре и для любой основной функции из существует

не зависящий от способа стремления тогда допускает аналитич. родолжение в область

где комплексная окрестность множества , причем постоянная, зависящая только от конуса расстояние от точки до границы множества . Б. т. "острие клина" остается верной и при . В этом случае и при нек-рых предположениях о росте функции получается первоначальная формулировка Н. Н. Боголюбова (см. [1]; роль конуса играл световой конус в ). Существуют различные доказательства и обобщения этой теоремы (см. [2]). Особо следует отметить обобщения на гиперфункции (см. [4]) и голоморфные коциклы (см. [3]).

Б. т. "острие клина" находит широкие применения в аксиоматич. квантовой теории поля, в теория дифференциальных уравнений с частными производными, в теории граничных значений голоморфных функций (особенно функций многих комплексных переменных). При этом полезным дополнением к теореме является теорема о Свыпуклой оболочке [2]; пусть, в условиях Б. т. "острие клина", где выпуклый острый конус; тогда где голоморфности оболочка области, действительное сечение области есть выпуклая оболочка множества , т. е. наименьшее открытое множество, содержащее и обладающее тем свойством, что если точки и из могут быть соединены С-подобной кривой, целиком лежащей в то и все гомотопные ей кривые лежат в

Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, М., 1958; [2] Владимиров B.C., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] Маrtinеau A., Distributions et valeurs au bord des fonctions holomorphes "Theory of Distributions. Proc. of an intern. Summer Institute Held", Lisboa, 1964, p. 193-326; [4] Hyperfunctions and Pseudo-Differential Equations, Lectures Notes in Mathematics, 287, В.-Hdlb.-N. Y., 1973. В. С. Владимиров.

2) Б. т. об особенностях типа 1/q²: теорема статистич. механики об асимптотич. поведении Грина функций в пределе малых импульсов (qЮ0) для бозеи ферми-систем с градиентно-инвариантным потенциалом взаимодействия. Установлена Н. Н. Боголюбовым в 1961 (см. [1]).

Для систем многих взаимодействующих частиц в случае вырождения состояния статистич. равновесия для двувременных температурных коммутаторных функций Грина в энергетич. представлении справедливо неравенство:

где операторы уничтожения и рождения частицы с импульсом

Возникающие (при ), в соответствии с Б. т., у функций Грина особенности отвечают элементарным возбуждениям в исследуемой физич. системе. Б. т. предсказывает также асимптотич. поведение при малых импульсах макроскопич. характеристик системы, связанных с функциями Грина известными формулами.