Математическая энциклопедия - чжэня класс

характеристический класс, определенный для комплексных векторных расслоений. Ч. к. комплексного векторного расслоения с базой Вобозначается и определен для всех натуральных индексов i. Полным Ч. к. наз. неоднородный характеристич. класс с=1+c1+c2+..., а полиномом Чжэня выражение ct =1+c1t+с2t²+..., где t- формальная переменная. Ч. к. введены в [1].

Характеристич. классы, определенные для n-мерных комплексных векторных расслоений, со значениями в целочисленных когомологиях, естественно отождествляются с элементами кольца Н**(BUn). В этом смысле Ч. к. с i можно считать элементами группы Н ^{2i (BUn),} полный Ч. к.-неоднородным элементом кольца H** (BUn), а полином Чжэня элементом кольца формальных степенных рядов Н**(BUn)[[t]].

Ч. к. обладают следующими свойствами, к-рые однозначно их определяют. 1) Для векторных расслоений с общей базой другими словами, 2) Для одномерного универсального расслоения над имеет место равенство где -ориентация расслоения -Тома пространство расслоения к-рое, будучи комплексным, имеет однозначно определенную ориентацию и).

Следствия свойств 1 2): при где -тривиальное расслоение. Последнее обстоятельство позволяет определить Ч. к. как элементы кольца H**(BU).

Если -набор целых неотрицательных чисел, то через обозначается характеристич. класс где n = i1+...+ik.

При естественном мономорфизме индуцированном отображением Ч. к. переходят в элементарные симметрич. функции, а полный Ч. к. переходит в многочлен Образом кольца Н**(BUn )в является подкольцо всех симметрических формальных степенных рядов. Каждый симметрический формальный степенной ряд от образующих By x1, ..., х п определяет характеристич. класс, к-рый может быть выражен через Ч. К. Напр., ряд определяет характеристич. класс с рациональными коэффициентами, наз. классом Тодда и обозначается

Пусть -набор целых неотрицательных чисел. Через обозначается характеристич. класс, определяемый наименьшим симметрич. многочленом от переменных х 1,...,х n, где содержащим одночлен

Пусть h*-ориентированная мультипликативная теория когомологий. Ч. к. со значениями в теории h* обладают такими же, что и обычные Ч. к., свойствами:

+ , где -ориентация расслоения к-рые их однозначно определяют. Как и для обычных Ч. к., употребляются обозначения и Если -комплексные векторные расслоения, то

где суммирование производится по наборам с

В качестве теории h* можно взять теорию унитарных кoбордизмов V* или К-теорию. Для U*-теории элемент определяется тождественным отображением а для K-теории где -оператор периодичности Ботта. Обозначение сохраняется для Ч. к. со значениями в U* -теории, а Ч. к. со значениями в К-теории обозначается

Согласно общей теории, где -векторное расслоение с базой В. Однако К-теорию часто удобнее рассматривать как -градуированную теорию, отождествляя группы К ^п (В)с К ^п+2 (В) с помощью оператора периодичности b. Тогда и при всех i. При такой точке зрения имеет смысл вместо полного Ч. к. рассматривать полином Чжэня

Пусть -когомологич. операции в K-теории (iсомножителей). Полином

обладает точно таким же, как и свойством мультипликативности

Между этими полиномами имеется следующая связь:

здесь обе части равенства лежат в K⁰ (В) [t],dim тривиальное расслоение размерности dim Построенные классы отличаются от классов, построенных М. Атьей, к-рый определил их формулой

Р. Стонг [1] определил классы к-рые удовлетворяют условию

Расхождение вызвано тем, что у Стонга

С классами связано плодотворное в теории гомотопий понятие алгебры Ландвебера Новикова. Для произвольного набора целых неотрицательных чисел рассматривается характеристич. класс где d= i1+ ... +ik. Имеет место Тома изоморфизм здесь MU-спектр, соответствующий U* -теории. Образ класса в U^2d(MU) определяет когомологическую операцию в U* -теории. Подалгебра Стинрода алгебры в U* -теории, порожденная операциями такого вида, наз. алгеброй Ландвебера Новикова. Операция, построенная по набору обозначается через

Для одномерных расслоений имеет место равенство

Это важное обстоятельство, позволяющее определить Чжэня характер, не имеет места в обобщенных теориях когомологий. Однако существует формальный степенной ряд g(t)с коэффициентами в для к-рого где первый Ч. к. со значениями в h*. Для унитарной теории кобордизмов где -класс кобордизма проективного пространства Этот ряд наз. рядом Мищенко.

Лит.:[1] Chern S. S., лAnn. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985