Математическая энциклопедия - чжэня число

характеристическое число квазикомплексных многообразий.

Пусть -произвольный характеристич. класс. Для замкнутого квазикомплексного многообразия М ²ⁿ целое число наз. числом Чжэня многообразия М ^2n, соответствующим классу х, здесь -фундаментальный класс многообразия или ориентация, однозначно определенная квазикомплексной структурой, -касательное расслоение к М. Если в качестве х взять характеристич. класс с рациональными коэффициентами, то соответствующие ему Ч. ч. будут рациональными. Ч. ч. х[М ²ⁿ]зависит лишь от однородной компоненты степени 2пкласса х. Ч. ч. инвариантны относительно квазикомплексного бордизма, следовательно, характеристич. класс хиндуцирует гомоморфизм

Разбиением числа пназ. набор целых неотрицательных чисел с i+ ... + ik=n. Если для квазикомплексных многообразий М, N размерности 2п при всех разбиениях w числа п имеет место равенство (см. Чжэня класс), то многообразия Ми Nкобордантны (в квазикомплексном смысле).

Пусть Асвободная абелева группа с базисом находящимся во взаимно однозначном соответствии со всеми разбиениями числа n. Приведенная теорема утверждает, что гомоморфизм

мономорфен. Ниже дано описание образа гомоморфизма (задача Милнора Хирцебруха). Другими словами, какие наборы целых чисел заданных для всех разбиений числа п, являются Ч. ч. квазикомплексного многообразия? Ч. ч. можно определить в произвольной мультипликативной ориентированной теории когомологий h^*, только в этом случае Ч. ч. квазикомплексного многообразия будет элементом кольца h^*(pt). Для теории когомологий h^* определена двойственная ей теория гомологии h*, и так как h^* ориентирована и мультипликативна, то для каждого квазикомплексного многообразия Мможет быть однозначно определен фундаментальный класс где Далее, как и в обычной теории, имеется спаривание

Если то применение хк относительно этого спаривания обозначается Для характеристич. класса усо значениями в h^* и замкнутого квазикомплексного многообразия Мэлемент наз. числом Чжэня в теории h^*. Предыдущие соображения применимы и к К-теории. Пусть М - квазикомплексное многообразие (возможно, с краем), произвольный элемент. Тогда целое число может быть вычислено по формуле: где Т-Тодда класс, задаваемый рядом

Если многообразие Мзамкнуто, то при получается {1, [M]^k}=Т[М]. Характеристич. число Т[М]наз. родом Тодда многообразия Ми является целым числом для любого замкнутого квазикомплексного многообразия. Часто Т[М]обозначают Td (M).

Касательные многообразия представляют собой один из важных примеров квазикомплексных многообразий. Пусть M-замкнутое действительное многообразие размерности п. Многообразие TN всех касательных векторов к Nимеет естественную структуру квазикомплексного многообразия: i( х, у)=-( у, -х). Пусть на Nвыбрана риманова метрика и через обозначено многообразие с краем, образованное всеми векторами длины, не превосходящей единицы. Если то целое число наз. топологическим индексом элемента Если есть класс символа эллиптич. оператора D, заданного на многообразии N, то (теорема Атьи Зингера), а приведенная выше формула для вычисления числа приводит к когомологич. форме теоремы об индексе.

Для набора целых неотрицательных чисел и замкнутого квазикомплексного многообразия Мразмерности 2ппусть -Ч. ч. в K-теории:

а -обычное Ч. ч. Число может быть отлично от нуля лишь тогда, когда разбиение числа п. Число может быть отлично от нуля при наборах Любой гомоморфизм может быть представлен в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами гомоморфизмов при где (теорема Стонга Хаттори). Характеристич. числа при мотут быть представлены в виде

где -рациональные коэффициенты, а М- любое замкнутое квазикомплексное многообразие размерности 2 п. Пусть а произвольный элемент из группы А, Тогда элемент принадлежит образу гомоморфизма j: тогда и только тогда, когда целое число для всех наборов

Лит. см. при статье Чжзня класс.

А. Ф. Харшиладзе.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985