Математическая энциклопедия - дискриминантная кривая

обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка F(x, у, у')=0множество точек ( х, у )плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (р( х, у) = 0, получающемуся исключением у' из соотношений F=0 и F'y=O или исключением х' из соотношений G=0 и Gxr=0, где G( у, х, х') =F( х, у, х') (в предположении, что F'y существует). Если Д. к. для уравнения F=0 непустое множество и не вырождается в отдельные точки, то она (или каждая ее ветвь) может:

1) являться решением уравнения F=0, в каждой точ-

ке которого нарушается единственность,в таком случае Д. к. есть огибающая семейства интегральных кривых (напр., у=1 и у=-1 для уравнения у'²+у ²-1 = 0, рис. 1;

у=0 для уравнения y'³-y²=0, рис. 2);

2) являться решением уравнения F=0, в каждой точке к-рого имеет место единственность (напр., y = 0 для уравнения y'²-y²=0, рис. 3);

3) не являться решением уравнения F=0, в таком случае Д. к. есть множество либо точек возврата интегральных кривых (например, x=0 для уравнения у'² -х=0, рис. 4),

либо точек прикосновения различных интегральных кривых (например, х=0 для уравнения у'² -х ²=0, рис. 5).

Рассматривается также уравнение F=0 в комплексной области, когда Fмногочлен от у' (см., напр., [2], гл. II).

Лит.:[1] Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 2, М., 1954; [2] Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.Л., 1950.

Я. X. Розов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985