Математическая энциклопедия - фильтрованная алгебра

-алгебра S, в к-рой выделены подпространства индексированные элементами линейно упорядоченной группы А(чаще всего А - аддитивная группа целых чисел ). таким образом, что при и (возрастающая фильтрация). Иногда рассматривают случай, когда при (убывающая фильтрация), но он сводится к предыдущему путем обращения порядка в группе Л. С каждой Ф. a. Sассоциируется градуированная алгебра

где (если то ), а произведение элементов и определяется по формуле где х, у - представители смежных классов а -смежный класс по порожденный элементом Если в алгебре Sвыполняется какое-либо полилинейное тождество (напр., коммутативность, ассоциативность или тождество Якоби), то и алгебре gr Sтакже выполняется это тождество.

Примеры. 1) Пусть S Клиффорда алгебра и -совокупность элементов, предстаиимых п виде (некоммутативных) многочленов степени от образующих. Получается возрастающая Z-фильтрация алгебры S, в к-рой Sn0 при п <0. Ассоциированной градуированной алгеброй будет внешняя алгебра с тем же числом образующих.

2) В универсальной, обертывающей алгебре алгебры Ли так же, как в предыдущем примере, определяется возрастающая Z-фильтрация. Согласно Биркгифа Витта теореме, ассоциированная градуированная алгебра есть алгебра многочленов.

Э. В. Винберг

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985