Математическая энциклопедия - галуа теория

в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта теория из задачи решения в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Общеизвестная формула для решения квадратного уравнения была установлена в глубокой древности. Методы решения уравнении 3-й ( Кардана формула).и 4-й степеней (см. Феррари метод).найдены в 16 в. В течение трех последующих столетий велись безуспешные поиски формул для решения уравнений 5-й степени и выше. Наконец, в 1824 Н. Абель (N. Abel) доказал, что общее алгебраич. уравнение степени в радикалах не решается. После этого встал вопрос о необходимых и достаточных условиях, к-рым должны удовлетворять коэффициенты уравнения, чтобы оно решалось в радикалах, т. е. могло быть сведено к цепи двучленных уравнений вида Ответ на этот вопрос был найден Э. Галуа (Е. Galois); свои результаты он изложил в предсмертном письме (1832), опубликованном в 1846. В современном изложении Г. т. выглядит следующим образом.

Пусть k - произвольное поле. Расширением поля kназ. любое поле К, содержащее kв качестве подполя. Каждое расширение можно рассматривать как линейное пространство над полем k;если это пространство имеет конечную размерность п, то расширение наз. конечным, а размерность п - степенью расширения. Элемент нек-рого расширения поля kназ. алгебраическим над k, если он является корнем уравнения f= 0, где fмногочлен с коэффициентами из k(этот многочлен можно считать неприводимым). Наименьшее расширение поля k, содержащее алгебраический над kэлемент , обозначается обычно . Конечное расширение Кполя kназ. сепарабельным, если причем многочлен f, корнем к-рого является , не имеет кратных корней. В случае, когда поле kимеет характеристику 0 (напр., если k - числовое поле), любое конечное расширение сепарабельно (теорема о примитивном элементе). Полем разложения неприводимого многочлена f наз. наименьшее расширение поля k, содержащее все корни этого многочлена. Степень такого расширения делится на степень многочлена f и равна этой степени, если все корни многочлена f выражаются через один из корней. Расширение Кназ. нормальным, если оно является полем разложения нек-рого многочлена, и расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно. Группа всех автоморфизмов расширения Галуа К, оставляющих на месте все элементы поля k, наз. группой Галуа этого расширения и обозначается Ее порядок (число элементов) равен степени расширения Кнад k. Каждой подгруппе H группы соответствует подполе Рполя К, состоящее

из всех элементов К, не меняющихся под воздействием автоморфизмов из Н. Обратно, каждому подполю (содержащему поле k).соответствует подгруппа Нгруппы , состоящая из всех автоморфизмов, оставляющих на месте каждый элемент поля Р. При этом поле Кявляется расширением Галуа Ри .Основная теорема теории Галуа утверждает, что эти соответствия обратны друг к другу и, следовательно, являются взаимно однозначными соответствиями между всеми подгруппами группы и всеми подполями поля К, содержащими поле k. Таким образом, описание всех под-полей поля Ксводится к описанию всех подгрупп конечной группы , что является значительно более простой задачей. Важно, что при этом соответствии "хорошим" свойствам подполен отвечают определенные свойства подгрупп и обратно. Так, подгруппа Нбудет нормальным делителем группы тогда и только тогда, когда соответствующее ей поле Рявляется расширением Галуа поля k..При этом группа изоморфна . Любой возрастающей последовательности

подполей поля Котвечает убывающая последовательность

подгрупп группы , где . Последовательность (2) является нормальным рядом (т. е. каждая группа нормальный делитель группы при ) тогда и только тогда, когда в последовательности (1) каждое поле есть расширение Галуа поля , и в этом случае .

К задаче решения алгебраич. уравнений эти результаты применяются следующим образом. Пусть fнеприводимый многочлен без кратных корней над полем k, а К - его поле разложения (оно будет расширением Галуа поля k). Группа Галуа этого расширения наз. группой Галуа уравнения f=0. Решение уравнения f=0 тогда и только тогда сводится к решению цепи уравнений когда Ксодержится в поле , являющемся последним членом возрастающей последовательности полей

где поле разложения над полем , многочлена . Последнее условие равносильно тому, что группа является факторгруппой группы , обладающей нормальным рядом, факторы к-рого изоморфны группам Галуа уравнений .