Математическая энциклопедия - галеркина метод

метод моментов,метод нахождения приближенного решения операторного уравнения в виде линейной комбинации элементов заданной линейно независимой системы.

Пусть F(х) - нелинейный оператор, область определения к-рого лежит в банаховом пространстве X, а область значений в банаховом пространстве Y. Для решения уравнения

методом Галеркина выбираются линейно независимая система элементов из X(координатная система) и линейно независимая система функционалов из пространства , сопряженного к (проекционная система). Приближенное решение хуравнения (1) разыскивается в виде

Числовые коэффициенты определяются из системы уравнений

В этой общей постановке задачи нельзя гарантировать, что система (3) имеет хотя бы одно решение. В случае если (3) имеет единственное решение при каждом приближенное решение (2) может не сходиться при даже слабо к точному решению уравнения (1). Тем не менее, Г. м. является мощным средством не только для нахождения приближенных решений, но и для доказательства теорем существования решений линейных и нелинейных уравнений, особенно в задачах для уравнений с частными производными.

В ряде случаев задача определения коэффициентов (2) из системы (3) эквивалентна задаче об отыскании минимума нек-рого функционала, и Г. м. превращается в вариационный (энергетический) метод. Наиболее важный из таких методов Ритца метод. В нек-рых случаях эффективно применение для исследования системы (3) топологич. методов.

Если пространства Xи Yгильбертовы, то Г. м. иногда наз. методом Галерки на Петрова. Если, кроме того, координатная и проекционная системы совпадают: то принято говорить о методе БубноваГалеркина.

Если Х=Y=H гильбертово пространство, а то этот частный случай Г. м. наз. наименьших квадратов методом.

В линейном случае, когда линейный, вообще говоря, неограниченный оператор с областью определения и с областью значений , а координатная система выбрана в , уравнение (1) принимает вид:

При этом система (3) представляет собой систему плинейных уравнений с пнеизвестными:

Если в условиях метода наименьших квадратов на существует и ограничен обратный оператор , и система полна в Н, то приближенное решение (2) при сходится к точному решению уравнения (4). Если в условиях метода Галеркина Петрова оператор Асимметричен, положительно определен, и система полна в гильбертовом пространстве пополнении D(А).в метрике, порожденной скалярным произведением

то приближенное решение (2) сходится к точному решению уравнения (4) как в , так и в Н.

Если Асамосопряженный положительно определенный оператор в Н, а полная ортонормиро-ванная система его собственных элементов, то метод Бубнова Галеркина и метод наименьших квадратов совпадают с Фурье методом.

Г. м. применяется также для приближенного решения задач на собственные значения и собственные элементы.

Г. м. получил широкое распространение после исследований Б. Г. Галеркина [1]; ранее он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым. Существует общий подход к приближенным методам, охватывающий обобщающие Г. м. проекционные методы, разностные методы и другие приближенные методы.

Лит.:[1] Галеркин Б. Г., "Вестник инженеров", 1915, т. 1, № 19, с. 897-908; [2] Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957; [3] Вайнберг М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М., 1972. В. А. Треногий.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985