Математическая энциклопедия - гармонического баланса метод

приближенный метод исследования нелинейных колебательных систем, описываемых нелийейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Суть Г. б. м. состоит в замене в колебательных системах нелинейных сил специальным образом построенными линейными функциями, в силу чего он позволяет использовать теорию линейных дифференциальных уравнений для приближенного анализа нелинейных систем.

Линейные функции строятся с помощью специального приема, наз. гармонич. линеаризацией. Пусть задана нелинейная функция (сила)

где e малый параметр. Гармонической линеаризацией наз. замена линейной функцией

где параметры вычисляются по формулам:

Если

то нелинейная сила является периодич. функцией времени, и ее разложение в ряд Фурье содержит, вообще говоря, бесконечное число гармоник с частотами т. е. оно имеет вид:

(1)

Слагаемое наз. основ но и гармоникой разложения (1). Амплитуда и фаза линейной функции совпадают с аналогичными характеристиками основной гармоники нелинейной силы. Применительно к дифференциальному уравнению

типичному для теории квазилинейных колебаний, Г. б. м. заключается в замене линейной функцией , и вместо уравнения (2) рассматривается уравнение

где Принято называть эквивалентной линейной силой, эквивалентным коэффициентом затухания, эквивалентным коэффициентом упругости. Доказано, что если нелинейное уравнение (2) имеет решение вида

причем то разность между решениями уравнений (2) и (3) имеет порядок . В Г. б. м. частота колебаний зависит от амплитуды а(посредством величин ).

Г. б. м. применяется для отыскания периодич. и квазипериодич. колебаний, периодич. и квазипериодич. режимов в теории автоматич. регулирования, стационарных режимов и для исследования их устойчивости. Особенно большое распространение он получил в теории автоматич. регулирования.

Лит.:[1] Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н., Введение в нелинейную механику. К., 1937; [2] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М., 1974; [3] Попов Е. П., Пальтов И. П., Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем, М., 1960.

Е. А. Гребеников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985