Математическая энциклопедия - гармоническая форма
Связанные словари
Гармоническая форма
внешняя дифференциальная форма на римановом многообразии М, удовлетворяющая уравнению , где Лапласа оператор, соответствующий римановой метрике на М, а оператор, сопряженный к внешнему дифференциалу d. Если имеет компактный носитель, то гармоничность формы равносильна равенствам Г. ф. степени рна Мобразуют векторное пространство над полем . Если рнманово многообразие Мкомпактно, то конечномерно, как ядро эллиптич. оператора . Поскольку Г. ф. замкнута, в силу теоремы де Рама возникает естественное отображение пространства в пространство вещественных когомологий степени рмногообразия М. Из Ходжа теоремы, следует, что это отображение является изоморфизмом. В частности, гармонич. функции, то есть Г. ф. степени 0, на связном компактном многообразии постоянны.
Г. ф. на компактном римановом многообразии инвариантны относительно любой связной группы изомет-рий этого многообразия, а для симметрического пространства Мпространство совпадает с пространством р-форм, инвариантных относительно наибольшей связной группы изометрий.
Параллельная теория Г. ф. существует для эрмитовых многообразий М. Г. ф. на эрмитовом многообразии М это комплексная форма, лежащая в ядре оператора Бельтрами Лапласа . Г. ф. типа составляют пространство над . Если Мкомпактно, то конечномерно и естественно изоморфно пространству когомологий Дольбо. В случае, когда Мкэлерово многообразие, эти два понятия Г. ф. фактически совпадают, поскольку В этом случае
и
Пусть кэлерова форма на М, L - оператор внешнего умножения на сопряженный к Lоператор, (М) - пространство примитивных гармонических форм типа , т. е. форм , для которых . Для справедливо равенство
Для компактного кэлерова многообразия пространство совпадает с пространством голоморфных форм степени р. В частности,
Изучение гармонич. функций и форм на римановых поверхностях восходит к Б. Риману (В. Riemann), сформулированные к-рым теоремы существования были полностью обоснованы к началу 20 в. Теория Г. ф. на компактных римановых многообразиях была впервые изложена У. Хеджем (см. [1]).
Вопрос-ответ:
Похожие слова
Самые популярные термины
1 | 551 | |
2 | 478 | |
3 | 475 | |
4 | 469 | |
5 | 451 | |
6 | 434 | |
7 | 434 | |
8 | 430 | |
9 | 420 | |
10 | 420 | |
11 | 417 | |
12 | 410 | |
13 | 400 | |
14 | 372 | |
15 | 370 | |
16 | 368 | |
17 | 362 | |
18 | 360 | |
19 | 359 | |
20 | 358 |