Математическая энциклопедия - газовых струи теория

раздел газовой динамики, в к-ром исследуются течения газа в предположении, что газ частично обтекает встречаемое на пути своего распространения препятствие и стекает с него, образуя за препятствием застойную область. Решение задач о струйном течении газа достигается в предположении, что газ баротропный и движение его плоскопараллельное, потенциальное и установившееся.

В этих предположениях выводится из уравнений гидродинамики следующая основная формула:

в к-рой и соответственно потенциал скоростей и функция тока, плотность газа в произвольной точке, плотность газа в точке нулевой скорости газа. Для адиабатич. движении постоянная есть квадрат скорости звука в точке нулевой скорости газа, поделенный на ( показатель адиабаты). Для решения задач Г. с. т. целесообразно рассматривать искомые функции не в зависимости от переменных координат в плоскости потока, а как функции переменных Чаплыгина: и угла наклона вектора скорости к оси . При таком выборе независимых переменных уравнение (1) приводит к системе двух уравнений с частными производными

к к-рой надо присоединить интеграл Бернулли

Исключение функции приводит к уравнению для функции тока:

Это уравнение эллиптич. типа для дозвуковых течений и гиперболич. типа для сверхзвуковых течений. Решение уравнения (2) может быть получено для ряда препятствий, составленных из отрезков прямых линий; вдоль каждого такого отрезка переменное имеет соответствующее постоянное значение. Вдоль линий тока, срывающихся с концов отрезков и являющихся границей, отделяющей движущийся газ от спокойного газа в застойной области, переменное т имеет постоянное значение. Функция тока в точках границ На плоскости переменных образуется область, ограниченная отрезками прямых линий, параллельных осям координат; вдоль каждого такого отрезка функция тока имеет постоянное значение. Расположение этих отрезков и постоянные значения функции на них зависят от вида и положения препятствия на плоскости течения газа. В определенном круге задач функция может быть получена из уравнения (2) методом разделения переменных. Напр., если поток газа дебита Qи конечной ширины набегает на прямолинейную пластинку, поставленную перпендикулярно к скорости газа в удаленных частях потока, то функция определяется рядом:

где значение переменной на граничной линии тока, угол скорости потока с осью Ох далеко за пластинкой. Угол mможет быть найден через длину, а сила давления потока на пластинку с помощью формулы (1).

Функция получается при разделении переменных в уравнении (2) и является интегралом гипергео-метрич. уравнения:

голоморфным около точки

Функция для газа, вытекающего из отверстия бесконечно широкого сосуда, определяется рядом

Сходимость рядов вида (3) и (4) была установлена С. А. Чаплыгиным (см. [1]) для дозвуковых течений, т. е. при .

Ряды, подобные рядам (3) и (4) для функции могут быть составлены, если в потоке есть лишь одна характерная для него скорость, отличная от нуля. Если же имеются две или несколько характерных скоростей, как, напр., в задаче о вытекании газа из отверстия в поперечной стенке сосуда, ограниченного двумя бесконечными полупрямыми, то решение выражается с помощью определенных интегралов сложной структуры, содержащих и в виде параметров.

Для исследования рядов вида (3), (4) и определенных интегралов, дающих точное решение задач Г. с. т., С. А. Чаплыгин предложил приближенный метод решения задач о струйном движении газа. Этот метод приводит задачу о движении газа к задаче о плоскопараллельном потенциальном движении несжимаемой жидкости.

Лит.:[1] Чаплыгин С. А., Собр. соч.. т. 2, М.-Л., 1948, с. 19-137; [2] Бай Ши-и, Теория струй, пер. с англ , М., I960. Л. Н. Сретенский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985