Математическая энциклопедия - изометрический оператор

отображение Uметрич. пространства (X,rX). в метрич. пространство (Y, rY). такое, что

для любых Если Xи Y действительные линейные нормированные пространства, U(X)=Y и U(0)=0, то Uлинейный оператор.

И. о. Uотображает Xна U(X)взаимно однозначно, так что существует обратный оператор U^-1, также являющийся И. о. Оператор, сопряженный с линейным И. о., действующим из одного линейного нормированного пространства в другое, также будет изометрическим. Линейный И. о., отображающий Xна все У, наз. унитарным оператором. Условием унитарности линейного оператора, действующего в гильбертовом пространстве Н, является равенство U*=U^-1. Спектр унитарного оператора расположен на единичной окружности, и имеет место представление

где {Еj}соответствующее разложение единицы. И. о., определенный на подпространстве гильбертова пространства со значениями в таком же пространстве, может быть продолжен до унитарного, если ортогональные дополнения области его определения и области его значений имеют одинаковую размерность.

Каждому симметрич. оператору Ас областью определения соответствует И. о.

наз. преобразованием Кэли оператора А. Если Асамосопряженный оператор, то оператор UA унитарен.

Операторы Аи В с общей областью определения Dназ. метрически равными, если В=UA, где UИ. о., то есть если || Вx||= ||Ax|| для всех Такие операторы обладают рядом общих свойств. Для любого ограниченного линейного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве, существует один и только один положительный метрически равный ему оператор, определяемый равенством

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [2] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, М., 1965; [3] Мazur S., Ulam S., "С.r. Acad. sci.", 1932, t. 194, p. 946 48.

В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985