Математическая энциклопедия - ландау теоремы

теоремы для регулярных в круге функций, устанавливающие нек-рые связи между геометрич. свойствами производимого этими функциями конформного отображения и начальными коэффициентами представляющих их степенных рядов.

В 1904 Э. Ландау показал [1], что если функция f(z) регулярна в круге |z|<R и не принимает в нем значений 0 и 1, то Д ограничено сверху положительной постоянной, зависящей только от В 1905 К. Каратеодори (С. Caratheodory) установил, что роль экстремальной функции в этой теореме играет модулярная функция. Эти результаты Э. Ландау и К. Каратеодори известны в виде следующей теоремы.

Теорема Ландау Каратеодори. Если функция

регулярна и не принимает значений 0 и 1 в круге |z|<Rто

здесь t=t(l) какая-либо ветвь функции, обратной к классич. модулярной функции группы M2 дробно-линейных преобразований

где a, d - нечетные, а b, с - четные числа. Функция l(t) отображает фундаментальную область Т 2 группы М 2:

( Т 2 получается присоединением к Int T2 той части границы этой области, для к-рой ), на всю расширенную l плоскость таким образом, что

При этом для каждого значения l уравнение имеет одно и только одно решение t, принадлежащее Т 2. Под функцией t(l) в теореме Ландау Каратеодори можно понимать ту ветвь указанной обратной функции, к-рая отображает расширенную l-плоскость на Т 2.

Пример функции регулярной в круге |z|<1 и не обращающейся в нуль и 1 при |z|<1 показывает, что теорема Ландау Каратеодори неулучшаема. Из теоремы Ландау Каратеодори вытекает Пикара теорема о значениях, не принимаемых целыми функциями.

Э. Ландау нашел точное значение постоянной W(M), фигурирующей в следующей формулировке теоремы Коши об обратных функциях. Пусть функция w=f(z).регулярна в круге в круге тогда существует такая постоянная W(M), что обратная функция z=j(w), обращающаяся в нуль при w=0, регулярна в круге |w|<W(M) и j(w)<1 в этом круге. Э. Ландау установил, что

Экстремальной функцией этой оценки является

Та же функция fM(^z) является экстремальной в следующей Л. т. Если функция f(z) удовлетворяет указанным выше условиям, то f(z) однолистна в круге|z|<r(M), где

Э. Ландау принадлежит ряд теорем покрытия в теории конформного отображения, устанавливающих существование и оценки соответствующих постоянных. Ниже приведена одна из них. Пусть H класс функций f(z), регулярных в круге и нормированных условиями Из теоремы Блоха (см. Блоха константа).вытекает следующая Л. т.: существует абсолютная постоянная

где Lf - радиус наибольшего круга w-плоскости, целиком накрываемого образом круга |z|<1 при отображении w=f(z); П - константа Блоха. Постоянная Lназ. постоянной Ландау. Для Lизвестны оценки (см. [5], [8]): Из сформулированной Л. т. вновь следует теорема Пикара.

Лит.:[1] Landau E., "Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.", 1904, S. 1118-33; [2] его же, Darstellung und Begrundung einiger neuerer Brgebnisse der Funktionentheorie, 2 Aufl., В., 1929; [3] его же, "Rend. Circolo mat. Palermo", 1922, t. 46, p. 347-48; [4] его же, "Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl", 1926, S. 467-74; [5] его же, "Math. Z.", 1929, Bd 30, S. 608-34; [6] его же, "Тр. Тбилисск. матем. ин-та. АН СССР", 1940, т. 8, с. 23-68; [7] С т в и л о в С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 1, М., 1962; [8] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [9] В а л и р о н Ж., Аналитические функции, пер. с франц., М., 1957; [10] Б е р м а н т А., "Матем. сб.", 1944, т. 15, № 2, с. 285-318. Г. В. Кузьмина.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985