Математическая энциклопедия - лефшеца теорема

1) Л. т. о неподвижных точках, Лефшеца Хопфа теорема,теорема, позволяющая выразить число неподвижных точек непрерывного отображения через его Лефшеца число. Так, если непрерывное отображение f: конечного клеточного пространства Xне имеет неподвижных точек, то его число Лефшеца L(f) равно нулю. Частным случаем последнего утверждения является Брауэра теорема о неподвижной точке.

Ю. Б. Рудяк.

2) Л. т. о г и п е р п л о с к о м сечении, слабая Л. т.: пусть X - алгебраич. подмногообразие комплексной размерности пв комплексном проективном пространстве и пусть гиперплоскость, проходящая через все особые точки многообразия X(если они есть), а гиперплоское сечение многообразия X;тогда относительные группы гомологии равны нулю при i<n. Отсюда вытекает, что естественный гомоморфизм

является изоморфизмом для i<n-1 и сюръективен для i=n-1 (см. [1]).

По формулам универсальных коэффициентов отсюда получаются соответствующие утверждения для групп целочисленных когомологии. Во всяком случае для когомологий с коэффициентами в поле рациональных чисел имеют место двойственные утверждения: гомоморфизм пространств когомологии индуцированный вложением является изоморфизмом для i<n-1 и инъективен для i=n-1 (см. [6]). Аналогичное утверждение справедливо для гомото-пич. групп: при i<n. В частности, кано-нич. гомоморфизм (X).является изоморфизмом при и сюръективен при n=2 (теорема Лефшеца о фундаментальной группе). Существует обобщение этой теоремы на случай произвольного алгебраически замкнутого поля (см. [7]), а также на случай, когда У нормальное полное пересечение в X(см. [8]).

3) Сильная Л. т.теорема о существовании разложения Лефшеца когомологий комплексного кэлерова многообразия на примитивные составляющие.

Пусть V - компактное кэлерово многообразие размерности пс кэлеровой формой о) и пусть

класс когомологий типа (1, 1), соответствующий форме со при изоморфизме де Рама (если V - проективное алгебраич. многообразие над с естественной метрикой Ходжа, то -класс когомологий, двойственный классу гомологии гиперплоского сечения) и

линейный оператор, определяемый умножением на

т.