Математическая энциклопедия - гомоморфизм

морфизм в категории алгебраических систем. Г.отображение алгебраич. системы , сохраняющее основные операции и основные отношения; точнее, пусть алгебраич. система с основными операциями и основными отношениями , Г. системы в однотипную ей систему наз. отображение , удовлетворяющее следующим двум условиям:

для всех элементов из Аи всех

Если каждому элементу iиз I сопоставлен некоторый -арный функциональный символ , а каждому элементу j из mj -местный предикатный символ и в каждой системе , однотипной системе , результат i-й основной операции примененной к элементам из , записан в виде , а вместо пишут . Условия (1), (2) при этом упрощаются и принимают вид

Г. ф : наз. сильным, если для любых элементов из и для любого предикатного символа условие влечет существование в Атаких элементов что и выполняется соотношение .

Для алгебр понятия Г. и сильного Г. совпадают. Для моделей существуют Г., к-рые не являются сильными, и взаимно однозначные Г., к-рые не являются изоморфизмами.

Если Г. алгебраич. системы на алгебраич. систему и ядерная конгруэнция для Г. , то отображение , определяемое формулой , является Г. факторсистемы на алгебраич. систему . Если при этом сильный Г., то есть изоморфизм. Это одна из самых общих формулировок теоремы о Г.

Следует отметить, что иногда Г. наз. также морфизмы в категориях, отличных от категорий алгебраич. систем. (Напр., Г. графов, Г. пучков, Г. групп Ли).

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] С hang С. С., Keisler H. J., Model theory, Amsterdam, 1973. Д. М. Смирнов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985