Математическая энциклопедия - лобачевского геометрия

геометрия, основанная на тех же основных посылках, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных (см. Пятый постулат). В евклидовой геометрии согласно этой аксиоме на плоскости через точку Р, лежащую вне прямой А'А, проходит только одна прямая В'В, не пересекающая А'А. Прямая В'В наз. параллелью к А 'А. При этом достаточно потребовать, чтобы таких прямых проходило не более одной, так как существование непересекающей прямой может быть доказано путем последовательного проведения прямых В Л. г. аксиома параллельности требует, чтобы через точку Р(рис. 1) проходило более

одной прямой, не пересекающей А 'А. Непересекающие прямые заполняют часть пучка с вершиной Р, лежащую внутри пары вертикальных углов TPU и U'PT', расположенных симметрично относительно перпендикуляра PQ. Прямые, образующие стороны вертикальных углов, отделяют пересекающие прямые от непересекающих и сами являются тоже непересекающими. Эти граничные прямые наз. параллелями в точке Рк прямой А'А соответственно в двух ее направлениях: Т'Т параллельно А'А в направлении A'A, a UU' параллельно А'А в направлении АА'. Остальные непересекающие прямые наз. расходящимися прямыми с А'А (подробнее см. ниже).

Угол к-рый параллель к точке Робразует с перпендикуляром наз. углом параллельности отрезка PQ=a и обозначается через При а=0 угол при увеличении а угол a уменьшается так, что для каждого заданного a, существует определенное значение а. Эта зависимость наз. Лобачевского функцией:

где k - некоторая константа, определяющая фиксированный по величине отрезок. Она получила название радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферич. геометрии существует бесконечное множество пространств Лобачевского, различающихся величиной k.

Евклидова геометрия может быть получена как предельный случай Л. г., когда обе параллели, проходящие через Р, сливаются в одну, т. е. когда множество всех прямых, проходящих через точку Ри непересекающих данную прямую А'А, сводится к единственной прямой. Тогда угол при любом а. Это условие эквивалентно требованию В малых областях пространства, т. е. когда линейные размеры фигур по отношению к kбесконечно малы, все соотношения Л. г. аппроксимируются получающимися в пределе соотношениями евклидовой геометрии.

Две различные прямые по плоскости образуют пару одного из трех типов.

Пересекающиеся прямые. Расстояние от точек одной прямой до другой прямой неограниченно увеличивается при удалении точки от пересечения прямых. Если прямые не перпендикулярны, то каждая проектируется ортогонально на другую в открытый отрезок конечной величины.

Параллельные прямые. На плоскости через данную точку проходит единственная прямая, параллельная данной прямой в заданном на последней направлении. Параллель в точке Рсохраняет в каждой своей точке свойство быть параллелью той же прямой в том же направлении. Параллелизм обладает взаимностью (если а||b в определенном направлении, то и b||а в соответствующем направлении) и транзитивностью (если а||b и а||b в одном направлении, то а||с в соответствующем направлении). В направлении параллельности параллельные неограниченно сближаются, в противоположном направлении неограниченно удаляются (в смысле расстояния от перемещающейся точки одной прямой до другой прямой). Ортогональная проекция одной прямой на другую является открытой полупрямой.

Расходящиеся прямые. Они имеют один общий перпендикуляр, отрезок к-рого дает минимальное расстояние. По обе стороны от перпендикуляра прямые неограниченно расходятся. Каждая прямая проектируется на другую в открытый отрезок конечной величины.

Трем типам прямых соответствуют на плоскости три типа пучков прямых, каждый из к-рых покрывает всю плоскость: пучок 1-г о рода множество всех прямых, проходящих через одну точку (центр пучка); пучок 2-го рода множество всех прямых, перпендикулярных к одной прямой (базе пучка); пучок 3-го рода множество всех прямых, параллельных одной прямой в заданном направлении, включающее и эту прямую.

Ортогональные траектории прямых этих пучков образуют аналоги окружности евклидовой плоскости: окружность в собственном смысле; э к в и д и с т а н т а, или линия равных расстояний (если не рассматривать базу), к-рая вогнута в сторону базы; предельная линия, или о р и ц и к л, ее можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром. Предельные линии конгруэнтны. Они не замкнуты и вогнуты в сторону гараллельности. Две предельные линии, порожденные одним пучком, концентричны (высекают на прямых пучка равные отрезки). Отношение длин концентрич. дуг, заключенных между двумя прямыми пучка, убывает в сторону параллельности как показательная функция расстояния хмежду дугами:

Каждый из аналогов окружности может скользить по самому себе, что порождает три типа однопараметрич. движений плоскости: вращение вокруг собственного центра; вращение вокруг идеального центра (одна траектория база, остальные эквидистанты); вращение вокруг бесконечно удаленного центра (все траектории предельные линии).

Вращение аналогов окружностей вокруг прямой порождающего пучка приводит к аналогам Сферы: собственно сфере, поверхности равных расстояний и о р и с ф е р е, или предельной поверхности.

На сфере геометрия больших окружностей обычная сферическая геометрия; на поверхности равных расстояний геометрия эквидистант, являющаяся планиметрией Лобачевского, но с большим значением k;на предельной поверхности евклидова геометрия предельных линий.

Связь между длинами дуг и хорд предельных линий и евклидовы тригонометрии, соотношения на предельной поверхности позволяют вывести тригонометрич. соотношения на плоскости, то есть тригонометрич. формулы для прямолинейных треугольников. Напр., формулу для площади а треугольника:

для длины окружности:

Тригонометрич. формулы Л. г. могут быть получены из формул сферич. геометрии заменой радиуса Rна мнимое число ki.

Доказательство непротиворечивости Л. г. проводится с помощью построения интерпретации (модели). Первой такой интерпретацией явилась Белътрами интерпретация, где установлено, что в евклидовом пространстве внутренняя геометрия поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны локально совпадает с Л. г. (роль прямых играют геодезические линии поверхности). Поверхность такого типа называется псевдосферой.

Другая интерпретация Бельтрами состоит в геодезическом отображении поверхности постоянной отрицательной кривизны во внутренность круга. Однако интерпретации Бельтрами моделируют лишь часть плоскости Лобачевского. Первая интерпретация всей плоскости Лобачевского Клейна интерпретация, в к-рой использована проективная метрика Кали. В этой интерпретации (рис. 2) прямые линии пространства Лобачевского реализуются хордами абсолюта (без концевых точек), а расстояния и углы выражаются с помощью двойных отношений четверок точек (концы М, N отрезка и концевые точки U, Т хорды, на к-рой лежит отрезок) и соответствующих четверок прямых

[стороны угла н проходящие через вершину касательные (мнимые) к абсолюту]. Параллели через точку Рк прямой MN реализуются прямыми РТ и пересекающими прямую MN в точках на абсолюте. Точки абсолюта моделируют "бесконечно удаленные точки", не являющиеся точками плоскости Лобачевского.