Математическая энциклопедия - метрическая теория функций

раздел теории функций действительного переменного, в к-ром свойства функций изучаются на основе понятия меры множества.

Исследованиями многих математиков 19 в. была создана новая математич. дисциплина теория функций действительного переменного. К кон. 19 в. четко выкристаллизовались нек-рые проблемы, требовавшие своего решения:проблема меры множества, длин кривых и площадей поверхностей, представления функций рядами (в частности, тригонометрическими), примитивной и интеграла, взаимосвязи интегрирования и дифференцирования, почленного интегрирования рядов и др. Решение этих проблем имело общематематич. значение; в этом направлении работали крупнейшие математики, чем, в частности, и объясняется бурное развитие М, т. ф, в 1-й трети 20 в. Основы М. т. ф. были заложены Э. Борелем (Е. Borel), P. Бэром (R. Bairе), А. Лебегом (Н. Lobosgue) и др.

В 1902 А. Лебег ввел чрезвычайно важное понятие меры множеств ( Лебега меры). На основе этого понятия им была создана теория интеграла ( Лебега интеграла). Эти два основных понятия мера и интеграл составляют фундамент М. т. ф., к-рая занимается изучением свойств функций, производных, интегралов, функциональных рядов (в частности, тригонометрич. рядов и общих ортогональных рядов), площадей поверхностей и т. п .

Многие основные свойства меры и интеграла Лебега были установлены в нач. 20 в. самим А. Лебегом (счетная аддитивность меры и интеграла, предельный переход под знаком интеграла, дифференцирование неопределенного интеграла и др.).

Кроме того, А. Лебег дал многочисленные приложения этих исследований к различным вопросам математич. анализа (площади поверхностей, разнообразные свойства тригонометрич. рядов, сингулярных интегралов и др.). Дж. Витали (G. Vitali, 1904) независимо открыл меру, тождественную мере Лебега, а несколько позже У. Юнг (W. Young, 1905) также построил интеграл и меру, эквивалентные интегралу и мере Лебега. Однако они не развили свою теорию и не дали ей в этот период существенных приложений. Начало развития М. т. ф. в России следует отнести к нач. 20 в., хотя первые крупные результаты в этой области были получены русскими математиками во 2-м десятилетии 20 в. (Д. Ф. Егоров, Н. Н. Лузин), когда произошло становление нового крупного центра исследований по М. т. ф. Создателем и руководителем школы М. т. ф. в СССР был Н. Н. Лузин.

Развитие М. т. ф. можно охарактеризовать двумя большими направлениями. Первое направление: на базе меры множества и интеграла Лебега, а также их обобщений исследуются как общие свойства функций, интегралов, тригонометрич. рядов, ортогональных рядов и т. п., так и их более конкретные тонкие свойства, выявление и изучение к-рых при помощи методов классич. анализа было труднодоступным. Это направление и представляет, собственно, М. т. ф. Второе, не менее важное направление, состоит в проникновении методов М. т. ф. в другие разделы математики, а также в создании на базе ее идей других новых областей математики, к-рые в свою очередь оказывают стимулирующее влияние на теорию функций.

На базе М. т. ф. началось детальное изучение граничных свойств аналитических функций;была создана метрическая теория чисел, методы к-рой неразрывно связаны с М. т. ф. Велико влияние теории функций на создание функционального анализа.

Ниже отличаются нек-рые характерные результаты по М. т. ф., каждый из к-рых знаменовал собой решение того или иного узлового вопроса, повлекшего в дальнейшем многочисленные исследования. Так, в 1911 Д. Ф. Егоров доказал, что всякая сходящаяся последовательность измеримых функций является равномерно сходящейся, если пренебречь нек-рым множеством сколь угодно малой меры (см. Егорова теорема). Н. Н. Лузин (1912) установил, что всякая измеримая функция становится непрерывной, если пренебречь некоторым множеством сколь угодно малой меры (см. Лузина С-свойство). Эти два результата трудно переоценить, т.