Математическая энциклопедия - нормальное распределение

одно из важнейших распределений вероятностей. Термин "Н. р.", принадлежащий К. Пирсону (К. Pearson) (более старые названия Гаусса закон, ГауссаЛапласа распределение), применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распределениям конечномерных случайных векторов), а также случай ных элементов и случайных процессов. Общее определение Н. р. сводится к одномерному случаю.

Распределение вероятностей случайной величины Xназ. нормальным, если оно имеет плотность вероятности

Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от двух параметров и >0. При этом математич. ожидание Xравно а, дисперсия Xравна , а характеристич. функция имеет вид

Кривая Н. р.симметрична относительно ординаты, проходящей через точку и имеет в этой точке единственный максимум, равный С уменьшением кривая Н. р. становится все более островершинной. Изменение апри постоянном не меняет форму кривой, а вызывает лишь ее смещение по оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой Н. р., всегда равна единице. При соответствующая функция распределения равна

В общем случае функция распределения Н. р. (*)

может быть вычислена по формуле Для функции (и нескольких ее производных) составлены обширные таблицы (см., напр., [1] , [2] и ст. Интеграл вероятности). Для Н. р. вероятность неравенства равная убывает весьма быстро с ростом к(см. табл.).

Во многих практич. вопросах при рассмотрении Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих ,т. н. правило трех сигма (соответствующая вероятность, как видно из табл., меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно

Н.