Математическая энциклопедия - нормирование

логарифмическое нормирование, оценка поля,отображение поля Кв где Г линейно упорядоченная абелева группа, а присоединяемый элемент считается больше любого элемента из группы и для любого . При этом Н. должно удовлетворять следующим условиям:

Образ при отображении vявляется подгруппой группы Г и называется группой значений нормирования v. Всюду в дальнейшем будет предполагаться, что совпадает с Г.

Теми же аксиомами определяется логарифм и-ческое нормирование колец. Всякое кольцо с неархимедовым абсолютным значением может быть превращено в логарифмически нормированное кольцо, если в группоиде значений перейти от мультипликативной записи к аддитивной и заменить упорядоченность на инверсную. Элемент 0 при этом естественно обозначить символом . Обратный переход от кольца с логарифмическим Н. к кольцу с неархимедовым абсолютным значением также возможен. Если в кольце было задано неархимедово вещественное нормирование, то соответствующий переход можно получить, заменяя любое положительное действительное число числом . Получающееся при этом логарифмическое Н. также принято называть вещественным.

Нормирования наз. эквивалентными, если существует такой изоморфизм упорядоченных групп, что для всех ненулевых элементов

Множество таких элементов хполя К, что , является подкольцом Аполя Ки наз. кольцом нормирования ев поле К. Кольцо Н. всегда является локальным кольцом. Элементы поля К, для которых образуют максимальный идеал кольца А; он наз. идеалом нормирования v. Факторкольцо , являющееся полем, наз. полем вычетов нормирования .

Пусть в поле Кзаданы Н. и . Кольца этих Н., рассматриваемые как подкольца поля К, тогда и только тогда совпадают, когда эти Н. эквивалентны. Таким образом, обозрение всех (с точностью до эквивалентности) Н. поля Ксводится к обозрению всех таких подколец, которые могут служить для этого поля кольцами Н. Описание таких подколец дает следующая теорема: подкольцо Аполя Ктогда и только тогда может служить для этого поля кольцом Н., когда для всякого ненулевого элемента , хотя бы один из элементов принадлежит к А. Кольцо Н., таким образом, может быть абстрактно определено как целостное кольцо (область целостности), удовлетворяющее условию сформулированной выше теоремы по отношению к своему полю частных. Всякое такое кольцо служит кольцом т. н. канонического нормирования для своего поля частных, группой значений канонического Н. является группа , где U-мультипликативная группа обратимых элементов кольца А, упорядоченная отношением делимости.

Кольца Н. можно определить еще одним способом. Если два локальных кольца с максимальными идеалами ти п соответственно, то говорят, что Вдоминирует А, если . Отношение доминирования является отношением частичного порядка на множестве подколец поля К. Максимальные элементы этого множества и только они являются кольцами Н. поля К. Если Акольцо Н., а кольцо с тем же полем частных, что и А, то В также кольцо Н. и Вявляется локализацией кольца Апо нек-рому простому идеалу.

Примеры нормирований. 1) Нормирование поля, определяемое формулой:

наз. несобственным, или тривиальным, Н. Таково любое Н. конечного поля. Ему соответствует точка (тождественное отображение К).

2) Пусть k нек-рое поле и поле формальных степенных рядов над k. Сопоставление ряду его порядка п(а нулевому ряду ) продолжается до Н. с группой значений (аддитивная группа целых чисел) и кольцом Н. . Ассоциированная точка сопоставляет ряду свободный член .

Н. со значениями в группе наз. дискретным; о их кольцах Н. см. Дискретного нормирования кольцо. Описание всех Н. поля рациональных чисел см. в [4].

Для любой линейно упорядоченной абелевой группы Г существует Н. некоторого поля, группа значений к-рого изоморфна Г.

Идеалы колец нормирования. Множество идеалов кольца Н. линейно упорядочено относительно включения, любой идеал конечного типаглавный, т. е. кольцо Н. является Везу кольцом. Более полно описание строения идеалов кольца Н. можно дать в терминах группы значений Н.

Подмножество Млинейно упорядоченного множества наз. мажорным (или м.