Математическая энциклопедия - питмена оценка

эквивариантная статистич. оценка параметра сдвига относительно группы вещественных сдвигов, имеющая минимальный риск при квадратичной функции потерь.

Пусть компоненты X1, Х 2, . . ., Х п случайного вектора Х= (X1, Х 2, . . ., Х п).суть независимые случайные величины, подчиняющиеся одному и тому же вероятностному закону, плотность вероятности к-рого принадлежит семейству

причем

для любого . Далее, пусть G= {g} - группа вещественных сдвигов, действующая в пространстве реализаций случайной величины Х i(i=l, 2, . . ., n):

В таком случае задача оценивания параметра q будет инвариантной относительно квадратичной функции потерь , если в качестве выбрать эквивариантную оценку. Э. Питмен [1] показал, что эквивариантная оценка параметра сдвига q относительно группы G, имеющая минимальный риск при квадратичной функции потерь, имеет вид

где есть i-я порядковая статистика, построенная по вектору наблюдений X. П. о.несмещенная оценка, она является минимаксной в классе всех оценок параметра сдвига q при квадратичной функции потерь, если все эквивариантные оценки параметра q имеют конечные функции риска [2].

Пример 1. Если

то есть Х i, i=l, 2, . . ., п, подчиняется показательному закону с неизвестным параметром сдвига q, то П. о. для q выражается формулой

причем ее дисперсия равна 1/n².

Пример 2. Если

то есть Xi, i=l, 2, . . ., п, подчиняется нормальному закону с неизвестным математич. ожиданием q, то в этом случае среднее арифметическое

является П. о.

Лит.:[1] Рitmаn Е. J., "Biometrika", 1939, v. 30, p. 391 421; [2] Girshiсk M. A., Savage L. J., "Proc. Second Berkeley Symp. Math. Statist. Prob.", 1951, p. 53-73; [3] 3акс Ш., Теория статистических выводов, пер. с англ., М., 1975.

М. С. Никулин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985