Математическая энциклопедия - равномерное пространство

множество с определенной на нем равномерной структурой. Равномерная структура (равномерность) на множестве Xопределяется заданием нек-рой системы подмножеств произведения При этом система должна быть фильтром (т. е. для любых пересечение также содержится в , и если , то ) и должна удовлетворять следующим аксиомам.

U1) Всякое множество содержит диагональ D=

U2) Если , то .

U3) Для любого существует такое, что , где W^oW= {(x, у):существует такое , что и }. Элементы наз. окружениям и равномерности, определяемой системой .

Равномерность на множестве Xможет быть определена также путем задания на Xсистемы покрытий , удовлетворяющей следующим аксиомам.

С1) Если и а вписано в покрытие b, то

С2) Для любых существует покрытие , к-рое звездно вписано в a1 и в a2 (т. е. для любой точки все элементы b, содержащие х, лежат в нек-рых элементах a1 и a2). Покрытия, принадлежащие , ная. равномерными покрытиями X(относительно равномерности, определяемой системой ).

Указанные два способа задания равномерной структуры эквивалентны. Напр., если равномерная структура на Xзадана системой окружений , то система равномерных покрытий Xможет быть построена так. Для всякого семейство (где ) является покрытием X. Покрытие а принадлежит тогда и только тогда, когда существует вписанное в а покрытие вида . Обратно, если система равномерных покрытий Р. п., систему окружений образуют множества вида , и всевозможные множества, их содержащие.

Равномерная структура на Xможет быть задана также с помощью системы псевдометрик. Всякая равномерность на множестве Xпорождает топологию: : для любой точки существует такое , что

Свойства Р. п. являются обобщением равномерных свойств метрических пространств. Если (X,r) метрич. пространство, на X возникает равномерность, порожденная метрикой р. Систему окружений этой равномерности образуют всевозможные множества, содержащие множества вида {( х, у):r( х, y)<e}, e>0. При этом топологии на X, индуцированные метрикой и равномерностью, совпадают. Равномерные структуры, порожденные метриками, наз. метризуемыми.

Р. п. были введены в 1937 А. Вейлем [1] (посредством окружений; определение Р. п. посредством равномерных покрытий было дано в 1940, см. [4]). Однако идея использования многократной звездной вписанности для построения функций появилась ранее у Л. С. Понтря-гина (см. [5]) (впоследствии эта идея была использована при доказательстве полной регулярности топологии отделимого Р. п.). Первоначально равномерные структуры использовались как инструмент для изучения (порожденных ими) топологий (подобно тому, как метрика на метризуемом пространстве часто используется для изучения топологич. свойств этого пространства). Однако теория Р. п. имеет и самостоятельное значение, хотя и тесно связана с теорией топологич. пространств.

Отображение f : X Y Р. п. Xв Р. п. Yназ. равномерно непрерывным, если для любого равномерного покрытия a пространства Y система f^-1a={f^-1U: Uа} является равномерным покрытием X. Всякое равномерно непрерывное отображение является непрерывным относительно топологий, порожденных равномерными структурами на Xи Y. Если равномерные структуры на Xи Yиндуцированы метриками, то равномерно непрерывное отображение f : X Y оказывается равномерно непрерывным в классич. смысле как отображение метрич. пространств.

Более содержательной является теория Р. п., к-рая удовлетворяет дополнительной аксиоме отделимости:

(в терминах окружений) или (в терминах равномерных покрытий):

СЗ) для любых двух точек , существует такое , что никакой элемент a не содержит точки хи уодновременно.

Далее речь будет идти только о Р. п., наделенных отделимой равномерной структурой. Топология, порожденная на Xотделимой равномерностью, является вполне регулярной и обратно, всякая вполне регулярная топология на Xпорождается нек-рой отделимой равномерной структурой. Как правило, существует много различных равномерностей, порождающих одинаковую топологию на X. В частности, метризуемая топология может порождаться неметризуемой отделимой равномерностью.

Р. и. (X,-).является метризуемъга тогда и только тогда, когда имеют счетную базу. При этом базой равномерности наз. (в терминах окружений) всякая подсистема , удовлетворяющая условию: для любого существует такое , что , или (в терминах равномерных покрытий) подсистема такая, что для любого существует , к-рое вписано в a. Весом Р. п. (X,).наз. наименьшая мощность базы равномерности .

Пусть М - подмножество Р. п. (X,). Система окружений определяет равномерность на М. Пара ( М,) наз. подпространством Р. п. (X,). Отображение f: XYР. п. (X,).в Р. п. (Y, ).наз. равномерным вложением, если f взаимно однозначно, равномерно непрерывно и отображение также равномерно непрерывно.

Р. п. X паз. полным, если всякий фильтр Коши в X(т. е. фильтр, содержащий нек-рый элемент всякого равномерного покрытия) имеет точку прикосновения (т. е. точку, лежащую в пересечении замыканий элементов фильтра). Метризуемое Р. п. является полным тогда и только тогда, когда полна метрика, порождающая его равномерность. Любое Р. п. (X,). может быть равномерно вложено в качестве всюду плотного подмножества в единственное (с точностью до равномерного изоморфизма) полное Р. п. , к-рое наз. пополнением (X,). Топология пополнения (, ) Р. п. (X,). бикомпактна тогда и только тогда, когда является прекомпактной равномерностью (т.