Математическая энциклопедия - редуктивное пространство

такое однородное пространство G/Hсвязной группы Ли G, что в алгебре Ли группы G существует (H)-инвариантное подпространство, дополнительное к подалгебре , являющейся алгеброй Ли группы H. Выполнение любого из следующих условий достаточно для того, чтобы однородное пространство G/Hбыло Р. п.: 1) линейная группа (Н)вполне приводима, 2) на существует (H)-инвариантная билинейная форма, сужение к-рой на невырождено. В частности, всякое однородное риманово пространство является Р. п. Если M=G/HР. п. и группа G действует эффективно на М, то линейное представление изотропии группы Нв касательном пространстве М 0 к многообразию Мв точке точно. С каждым инвариантным подпространством , дополнительным к , связаны две важные G-инвариантные аффинные связности на М:. к а н о н и ч е с к а я с в я зн о с т ь и е с т е с т в е н н а я с в я з н о с т ь б е з к р у ч е н и я. Канонич. связность на Р. п. M=G/H с фиксированным -инвариантным разложением единственная G-инвариантная аффинная связность на М, обладающая тем свойством, что для любого вектора и любого репера ив точке o кривая (exp tX)uв главном расслоении реперов над Мгоризонтальна. Канонич. связность полна и множество се геодезических, проходящих через точку о, совпадает с множеством кривых вида (exp tX) о, где После естественного отождествления пространств и М 0 тензор кривизны Rи тензор кручения Тканонич. связности определяются формулами и , где X, Y, , а через и обозначены проекции вектора на и соответственно. Тензорные поля Rи Тпараллельны относительно канонич. связности так же, как и любое другое G-инвариантное тензорное поле на М. Алгебра Ли линейной группы голономии (см. Голономии группа).канонич. связности на Mс опорной точкой опорождается множеством , где l - линейное представление изотропии алгебры Ли в пространстве М 0. Всякое связное односвязное многообразие, снабженное полной аффинной связностью с параллельными полями кривизны и кручения, может быть представлено в виде Р. п., канонич. связность к-рого совпадает с заданной аффинной связностью. На Р. п. M=G/Hс фиксированным -инвариантным разложением существует единственная G-инвариантная аффинная связность с нулевым кручением, имеющая те же геодезические, что и канонич. связность. Эта связность наз. естественной с в я з н о с т ь ю б е з к р у ч ен и я на М(относительно разложения ). Однородное риманово или псевдориманово пространство M=G/Hназ. е с т е с т в е н н о р е д у к т и в н ы м, если оно допускает такое -инвариантное разложение , что

(*)

для всех , где В - невырожденная симметрическая билинейная форма на m, индуцированная римановой (псевдоримановой) структурой на Мпри естественном отождествлении пространств и . Если M=G/Hестественно редуктивное риманово или псевдориманово пространство с фиксированным инвариантным разложением , удовлетворяющим условию (*), то естественная связность без кручения совпадает с соответствующей римановой или псевдоримановой связностью на М. Если М - одно-связное естественно редуктивное однородное риманово пространство и его разложение де Рама, то Мможет быть представлено в виде , причем и